by GT BAGNI · 1998 · Cited by 7 — Dimostrare e convincere. GIORGIO T. BAGNI. NUCLEO DI RICERCA IN DIDATTICA DELLA MATEMATICA, BOLOGNA. Abstract. The demonstration is often considered the
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Bollettino dei Docenti di Matematica 36 (1998), 53-60 Dimostrare e convincere GIORGIO T. BAGNI NUCLEO DI RICERCA IN DIDATTICA DELLA MATEMATICA, BOLOGNA Abstract. The demonstration is often considered the essential moment of doing Mathematics, from the didactical point of view as well. With no intention to deny the primary relevance of the demonstration, the paper reminds us thet demonstrations themselves are only one side of the mathematical work. In fact, there is a pre-demosntrative phase, of relevant importance, usually left to intuitive capacity. Those ideas have repercussions on the conception and the role of demonstration, as it is shown through experiences carried out in some higher secondary schools. Spesso, nei corsi scolastici di matematica e nei libri di testo (pensiamo soprattutto alla scuola secondaria superiore), la dimostrazione viene considerata il momento essenziale dell™intera trattazione di una questione matematica, anche dal punto di vista didattico. Talvolta questa impostazione porta ad attribuire alla dimostrazione un ruolo preponderante: osserva F. Speranza che fisiamo stati educati nell™ideale aristotelico-euclideo nel quale la matematica viene presentata secondo lo schema enunciati-dimostrazioni. Siamo arrivati a far coincidere con questo stile la sostanza della razionalità matematicafl (Speranza, 1992, p. 135). Non intendiamo negare l™importanza primaria della dimostrazione, sia per la ricerca sia nell™àmbito della didattica disciplinare; eppure, nota ancora Speranza, fiin quanto alla pratica matematica, le dimostrazioni sono solo una parte del lavoro (anche per i matematici ‚puri™): essa è preceduta da una fase di intuizioni, di congetture, di tentativi che via via si perfezionanofl (Speranza, 1992, p. 135). Il ruolo di questa fase pre-dimostrativa, generalmente affidata a capacità di intuizione (1) prima ancora che di organizzazione razionale della dimostrazione, è rilevante (si veda ad esempio: Mazzanti & Piochi, 1990; Dapueto, 1992, p. 39), soprattutto se si considera che fila dimostrazione non dà necessariamente il massimo convincimentofl (Speranza, 1992, p. 137). Osserva E. Fischbein: __________ (1) Sul significato del termine intuizione in àmbito matematico, F. Furinghetti annota (riferendosi a Davis & Hersh, 1980, p. 391): fiIl problema del significato dell™intuizione è prima di tutto glottologico L™ambiguità e il mistero che circonda questo termine possono spiegarsi col fatto che nell™immagine comune la matematica è associata alla pura deduzione logica, per cui ogni fatto discende strettamente e ‚fatalmente™ dai precedenti; certi processi di acquisizione di nuova conoscenza (e, tra essi, in particolare, le scoperte/invenzioni matematiche) sembrano avvenire saltando alcuni anelli della catena di deduzioni e creano la necessità di un elemento ‚estraneo™ (l™intuizione, appunto) che entri in gioco a spiegare ciò che è avvenutofl (Furinghetti, 1992, p. 85). Citiamo E. Fischbein: fiLa più diffusa interpretazione di intuizione è che l™intuizione è senso comune Il fatto che questa identificazione è in parte corretta ha probabilmente bloccato gli interessi degli psicologi nello studio del fenomeno dell™intuizionefl (Fischbein, 1993, p. 1).

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ªCapire intuitivamente non significa semplicemente vedere Dobbiamo considerare tre livelli di accettazione intuitiva. Un primo livello si riferisce al fatto espresso dall’affermazione stessa Un secondo livello si riferisce alla struttura della dimostrazione: un allievo può capire intuitivamente il significato di un teorema ma può non essere in grado di capire intuitivamente la struttura della rispettiva dimostrazione (sebbene sia in grado di memorizzare e di capire formalmente i suoi passi) Il terzo livello si riferisce al fatto di capire la validituniversale dell’affermazione come garantita ed imposta dalla validitdella dimostrazioneº (Fischbein, 1993, p. 22). Tali idee si riflettono sulla concezione e sul ruolo della dimostrazione: ªFormalmente non c’differenza tra l’accettare la correttezza di una dimostrazione matematica e l’accettare l’universalitdi un’affermazione come garantita da quella dimostrazione. Il fatto che, per l’alunno, ci sia differenza tra accettare una dimostrazione ed accettare l’universalitdell’asserto provato da essa dimostra che si può prendere in considerazione un elemento in più. Tale elemento aggiuntivo costituito dal bisogno di un’accettazione intuitiva complementare della capacitpredittoria assoluta di un’affermazione che stata formalmente provataº (Fischbein, 1993, pp. 22-23; inoltre: Lolli, 1989). Una vasta e profonda ricerca attualmente in corso (Arrigo & D’Amore, 1998, comunicazione privata all™autore) dedicata allo studio delle reazione degli allievi di vari livelli scolastici (particolarmente della scuola secondaria superiore) di fronte ad alcune dimostrazioni riguardanti l’infinito. Da uno degli esempiesaminati nell’mbito di tale ricerca, la scrittura di un numero decimale periodico in forma di frazione (in particolare l’interpretazione di un periodico con periodo 9), traiamo lo spunto per alcune riflessioni sulla dimostrazione in didattica (2). A tale proposito, consideriamo le due seguenti schede: nella prima riportata una ªtradizionaleº dimostrazione mediante la quale si prova che 09, non un numero minore di 1, anzi che risulta: 09, = 1; nella seconda si afferma che 09, non minore di 1 mediante un’argomentazione che apparire meno rigorosa, basata su di un procedimento pratico. Scheda A Dimostriamo che 0,9 non è un numero minore di 1. Per fare ciimostreremo che : 09, = 1. Infatti possiamo scrivere: 09,·10 = 99, 09,·10 = 9+09, 09,·10Œ09, = 9 09,·(10Œ1) = 9 09,·9 = 9 09, = 99 cio: 09, = 1 __________ (2) Sulla questione c’una vasta bibliografia: D’Amore, 1996 e 1997. C. Dapueto segnala che ªquando si costruisce un nuovo insieme di oggetti matematici occorre definire una nuova nozione di identit: ad esempio occorrerebbe precisare che sono da considerarsi eguali come numeri le espressioni 1.3999 e 1.40000 La nozione di relazione di equivalenza dovrebbe, cio, avere un uso diffusoº (Dapueto, 1992, p. 37).

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Scheda B Immaginiamo un numero positivo scritto in forma decimale minore di 1; ad esempio: a = 0,68422432763 Consideriamo ora il seguente esercizio: Scrivere un numero b, in forma decimale, minore di 1 e maggiore di a. Ci chiediamo innanzitutto: è sempre possibile risolvere questo esercizio? Per rispondere, ripensiamo al numero a, che sappiamo essere minore di 1; la differenza tra 1 e a 1±a, un numero positivo. Ebbene, se ad esempio aggiungiamo ad a un numero positivo più piccolo di 1±a (ad esempio: la met, o la terza parte di 1±a) otteniamo un numero certamente maggiore di a e minore di 1. Dunque l™esercizio è sempre risolubile: basta che a sia minore di 1. Affrontiamo ora praticamente l’esercizio: per scrivere un numero b maggiore di a (e sempre minore di 1) possiamo operare nel modo seguente: Procedimento: scriviamo un numero che, in forma decimale, coincida con a ªfino a un certo puntoº, ciobbia le prime cifre decimali uguali a quelle di a e quindi abbia una cifra decimale maggiore della corrispondente cifra di a. A questo punto il nostro b gimaggiore di a (e, dato che ha uno 0 prima della virgola, minore di 1): tutto ciche scriveremo dopo non avrpiù importanza (potremmo anche non scrivere più nulla, oppure lasciare inalterate le cifre di a, oppure inventare delle cifre qualsiasi). Ad esempio, se a = 0,68422432763 possiamo scrivere: b = 0,7 oppure: b = 0,69422432763 oppure: b = 0,688 etc. Possiamo comunque concludere che se vogliamo scrivere un numero maggiore di a (e minore di 1) dobbiamo scrivere un numero b in cui almeno una cifra decimale sia maggiore della corrispondente cifra decimale di a. Prendiamo ora in considerazione il numero: a = 0,99999999999 dunque il numero periodico 09,. Ebbene, se 09, fosse un numero minore di 1, dovrebbe essere possibile scrivere (applicando il Procedimento sopra descritto!) un numero minore di 1 e maggiore di a Ma non possibile applicare il Procedimento: cionon possibile lasciare inalterate le cifre decimali di a ªfino ad un certo puntoº e quindi ªaumentareº una cifra decimale, perché tutte le cifre decimali dopo la virgola sono 9! Concludiamo dunque che 0,9 non è un numero minore di 1. Evidentemente quanto proposto nella scheda B, ancorché sostanzialmente corretto, deve essere considerato incompleto e formalmente debole (non viene ad esempio dimostrato che il ªProcedimentoº indicato indispensabile per scrivere un numero decimale compreso tra il numero assegnato a e 1).

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Una ricerca sperimentale stata condotta con riferimento agli allievi di una classe quarta e di una classe quinta Liceo scientifico (allievi di 17-19 anni), per un totale di 50 allievi. Agli allievi stato innanzitutto domandato di optare tra le due possibilit: 09, = 1 e 09, < 1 Il 68% degli allievi ha affermato che 09, < 1; solo il 20% ha indicato 09, = 1 (il restante 12% non ha risposto). Ciconferma che (nonostante agli allievi sia stato proposto, nel programma di matematica delle scuole secondarie inferiori e del biennio delle scuole superiori, come ricavare la frazione generatrice di un numero periodico) l'accettazione del fatto che le due diverse scritture ª09,ª e ª1º possano indicare uno stesso numero costituisce effettivamente una difficoltper gli allievi, i quali sono abituati a considerare una (implicita) corrispondenza biunivoca tra i numeri e le rappresentazioni (decimali) di essi. Abbiamo quindi voluto esaminare l'efficacia della dimostrazione ªtradizionaleº presentata nella scheda A e dell'argomentazione presentata nella scheda B. A ciascun allievo sono state proposte, in sequenza, la scheda A e la scheda B (in quest'ordine). Dopo aver proposto agli allievi la scheda A, il ricercatore ha nuovamente chiesto ad essi di scegliere tra le due possibilit09, = 1 e 09, < 1: il 44% degli allievi ha affermato che 09, < 1; il 48% ha indicato 09, = 1 (il restante 8% non ha risposto). Intervistati, alcuni allievi (il 28% del totale) hanno affermato che, nonostante la dimostrazione, 09, solo ªun'approssimazioneº di 1. Dopo avere proposto agli allievi anche la scheda B, stata proposta per la terza volta ad essi la precedente domanda: il 22% degli allievi ha affermato che 09, < 1; il 70% ha indicato 09, = 1 (il restante 8% non ha risposto). 09, = 1 09, = 1 non risponde Prima di proporre le schede 68% 20% 12% Dopo la scheda A 44% 48% 8% Dopo le schede A e B 22% 70% 8% Possiamo rilevare che l'insieme dei procedimanti presentati (compreso, dunque, il procedimento presentato nella scheda B) ha potuto convincere alcuni allievi (il 22% del totale) che 09, = 1, allievi che non erano stati convinti dalla sola dimostrazione ªtradizionaleº (presentata nella scheda A). Questa semplice esperienza non vuole costituire la base sperimentale di una ricerca scientifica nel campo dell'epistemologia dell'apprendimento: il campione, ad esempio, troppo ristretto per poter essere considerato pienamente significativo e la metodologia del test e delle interviste dovrebbe essere approfondita e debitamente esplicitata. Ma alcuni spunti emersi meritano una riflessione. La dimostrazionrtamente una fase fondamentale dell'apprendimento della matematica; ma non bisogna dimenticare che non sempre essa in grado di convincere pienamente l'allievo, di catturare la sua attenzione. Emotivamente, l'allierestare in parte o del tutto insensibile ad una ªtradizionaleº dimostrazione, mentre essere affettivamente coinvolto, in termini spesso decisivi, da un'argomentazione piicina all'esperienza, ad una procedura (praticamente) ripetibile, sebbene, forse, meno ªrigorosaº. PAGE - 5 ============ Ricordiamo un'osservazione di uno dei piimportanti matematici contemporanei, Jacques Hadamard: (1865-1963): ªChe un elemento affettivo sia parte di ogni scoperta o invenzionsin troppo evidente, e molti pensatori vi hanno giinsistito: hiaro che nessuna scoperta o invenzione significativa aver luogo senza la volontdi scoprireº (Hadamard, 1993). A. Rogerson e M. Arora citano un'interessante annotazione di un non meglio precisato ªcollega giapponeseº: ªÈ importante fare ricerca matematica nella propria lingua, in quanto la ricerca coinvolge la persona intera, conoscenza e sentimenti, testa e cuore. Fare matematica in una lingua straniera ome impegnarsi in un incontro di pugilato tenendo una mano dietro la schienaº (Rogerson & Arora, 1995, p. 496). Dunque il ruolo dell'aspetto affettivo si conferma primario e fondamentale nell'apprendimento della matematica, particolarmente per quanto riguarda l'accettazione di fatti matematici (per l'allievo) sorprendenti, in contrasto con alcuni ªpreesistenti frammenti pre-matematiciº (e proprio la presenza di tali ªframmentiuna delle principali cause di misconcezioni, secondo Davis e Vinner, 1986, pp. 298-300) (3). Concludiamo facendo nostra un'osservazione di F. Speranza, riferita primariamente al ruolo didattico della dimostrazione e dell'esperienza concreta in geometria (ma immediatamente estesa all'aritmetica ed all'algebra): ªMolti insegnanti di matematica sono convinti che attraverso le dimostrazioni gli studenti imparino sia i `contenuti' sia la `struttura logica' della disciplina, e siano educati allo `spirito critico'. Almeno per la geometria, sono profondamente convinto che questa sia un'illusione. Anzitutto i `fatti spaziali' si imparano per esperienza concreta (in certa misura, anche quella offerta dal metodo delle coordinate); del resto, anche altri settori, nei quali i fatti sono meno `palpabili', come l'aritmetica e l'algebra, si apprendono anzitutto affrontando problemi, escogitando metodi di risoluzioneº (Speranza, 1992, p. 136). Riferimenti bibliografici Arrigo, G. & D'Amore, B. (1998), Ricerca in corso, titolo provvisorio: ªLo vedo ma non ci credoº, comunicazione privata all™autore. Bottazzini, U. (1981), Il calcolo sublime, Boringhieri, Torino. Brousseau, G. (1986), Fondaments et mthods de la didactique des mathmatiques: Recherches en didactique del mathématiques, 7, 2, 33-115. __________ (3) La questione del rigore (anche dal punto di vista linguistico) molto delicata. U. Bottazzini evidenzia la storicitdi tale aspetto della matematica: ªIl rigore in matematica anch'esso un concetto `storico' e dunque in divenire Appellarsi all'esigenza del rigore nello spiegare lo sviluppo della matematica sembra in realtun discorso circolare: di fatto, alla formulazione di nuovi standard di rigore si perviene quando i vecchi criteri non permettono una risposta adeguata alle domande che vengono dalla pratica matematicaº (Bottazzini, 1981, p. 13). La question complessa e non puessere certo esaurita in poche battute; il lettore potronsultare ad esempio: D'Amore, 1993; Maier, 1993a e 1993b; Zan, 1995; Pellerey & Orio, 1996. PAGE - 6 ============ D'Amore, B. (1993), Esporre la matematica appresa: un problema didattico e linguistico: La matematica e la sua didattica, 3, 289-301. D'Amore, B. (1996), L™infinito: storia di conflitti, di sorprese, di dubbi, Opening Relation to Topic Group XIV ªInfinite processes throughout the curriculumº, 8th ICME, Sevilla, 14-21 July 1996 (La matematica e la sua didattica, 3, 1996, 322-335). D'Amore, B. (1997), Bibliografia in progress sul tema: ªl'infinito in didattica della matematicaº: La matematica e la sua didattica, 3, 289-305. Dapueto, C. (1992), La problematica del definire e del dimostrare nella costruzione di un progetto per l'insegnamento della matematica: Furinghetti, F. (a cura di), Definire, argomentare e dimostrare nel biennio e nel triennio: opinioni, esperienze e risultati di ricerche a confronto, Atti del II Internucleo della Scuola secondaria superiore, CNR, Tecnologie e innovazioni didattiche, 13, 19-51. Davis, P.J. & Hersh, R. (1980), The mathematical experience, Birkhäuser, Boston. 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