by G Schoeman — De ontwikkeling van de peiling vermenigvuldigen door het project. ‘Speciaal Rekenen’ past in dit kader omdat aan de hand van deze peiling een op de leerling
81 KB – 11 Pages
PAGE – 1 ============
133Als leren vermenigvuldigenmoeizaam gaatG. Schoeman, I. Verbruggen & N. FigueiredoKath. Pabo. Zwolle / FIsme, Universiteit Utrecht1inleiding In iedere klas zit wel een leerling bij wie het automatiseren van de tafels moeizaam gaat. Wat doe je dan? Neem voor jezelf een moment om daar over na te denken voordat je verder leest. Veel gebruikte manieren zijn het inzetten van ta felkaarten of het blijven herhalen door middel van het opdreune n van de tafels, tot op de wc aan toe! Het is de vraag of dit de manier is om leerlingen te helpen. Voor som- mige leerlingen kan het werken, maar voor de zwakke rekenaars in het speciaal (basis)onderwijs (s(b)o) is een andere be nadering nodig. Het pro- ject ‚Speciaal Rekenen™ van het FIsme heeft een peiling ontwikkeld die als doel heeft vast te stelle n wat de mogelijkheden va n het kind zijn ten aan- zien van het leren vermeni gvuldigen en geeft op basis daarvan suggestiesvoor een vervolgtraject.2kaderIedere leerling heeft recht op goed on derwijs. In het ka der van het Invoe-ringsplan voor ‚Passend Onderwijs™ ( OCW, 2007) wordt daarom gestreefd naar onderwijs dat zo veel mogelijk op de mogelijkheden van de leerling is afgestemd. Dat betekent dat er naast de lesstof in de reken-wiskundeme-thode moet worden gekeke n naar passende alternat ieven indien een leer- ling niet mee kan komen. Van de leer kracht wordt meer verwacht dan het doorlopen van de reken-wiskundemeth ode. Signaleren en kennis van de leerlijnen zijn belangrijke gereedsc happen om passend onderwijs te bie- den. De ontwikkeling van de peilin g vermenigvuldigen door het project ‚Speciaal Rekenen™ past in dit kade r omdat aan de hand van deze peiling een op de leerling aangepast traject voor het leren vermenigvuldigen gerea- liseerd kan worden.
PAGE – 2 ============
G. Schoeman, I. Verbruggen & N. Figueiredo1343leren vermenigvuldigenBoswinkel en Moerlands (2003) geven aan welk proces er achter de rug isals leerlingen een formele keersom als 6 4 kunnen oplossen. Ze gebrui- ken hiervoor de ijsbergmetafoor (fig.1). Het topje van de ijsberg komt over- een met het niveau van de formele (kee r)som. Dit topje ontleent zijn zicht- baarheid alleen aan het enorme drijf vermogen dat onder de waterspiegel zit. Het drijfvermogen ko mt overeen met datgene wat vooraf gaat aan de formele keersom. figuur 1Voordat leerlingen leren vermenigvuldigen op formeel niveau moet er al een heel proces achter de rug zijn wa arin leerlingen de inhoud en beteke-nis van vermenigvuldigen hebben verken d en tot begrip zijn gekomen wat een keersom in essentie inhoudt. Ze moeten ervaren dat een keersom een herhaalde optelling is en dat die op verschillen de manieren kan worden vormgegeven. Op een basaal niveau al s een optelling van groepjes van vier kinderen maar, op een wat abstract er niveau, ook als een optelling van groepjes van bijvoorbeeld 4 staafjes of als doosje met he t cijfer 4 dat een hoeveelheid van 4 representeert. Bij het laatste voorbeeld kan de leerling niet meer één voor één tellen. De reken-wiskundemethode leert kind eren vermenigvuldigen volgens een gestructureerd aanbod. De opdrachten komen echt er verspreid over het jaar aan bod en maken v aak deel uit van een les waarin ook andere domei- nen aan bod komen. Er is weinig aa ndacht voor begripsvorming van ver- menigvuldigen. In de map ‚Vermenigvul digen™ van het project ‚Speciaal Re- kenen™ (2004) zijn de leerlijnen van vermenigvuldigen aan de hand van de bladspiegels van de betreffende meth ode in een schema uitgezet (fig.2).
PAGE – 3 ============
Als leren vermenigvuldigen moeizaam gaat135Daaruit blijkt dat kinderen vrij vlot op formeel niveau moeten kunnen ver- menigvuldigen. Voor zwakke rekenaars kan dit een struikelblok zijn. figuur 24begripsvormingHoe komen kinderen tot begripsvormin g op het gebied van vermenigvuldi- gen? Terlouw en Schoeman (2006) ge ven een praktijkvoorbeeld over hoe kinderen in de supermarkt tot begr ipsvorming komen. De leerlingen gaan in groepjes met een digitale camera naar de supermarkt om daar keersom- men te zoeken en te fotograferen. B ij dit bezoek wordt duidelijk dat er op het gebied van begripsvorming nog wel het een en ander mis kan gaan.Één leerling legt twee ri jen van drie zakken pepern oten. Op de vraag welke som hier bij hoort antwoordt ze: ‚3 3™. Ze legt uit dat ze een rij van drie
PAGE – 4 ============
G. Schoeman, I. Verbruggen & N. Figueiredo136heeft en nog een rij van drie. ‚Dus 3 3,™ is haar conclusie. Dit probleem is kenmerkend voor meer leerlingen. Er worden twee getallen gezocht en daar wordt zonder meer een keerteken tussen geplaatst. Het is voor deze leerling nog niet duidelijk wat een keersom in essentie is. Een ander groepje vond een pakje met zakdoekjes in een verpakking van 2 4. De leerlingen tellen gezamenlijk en er wordt al geroepen dat het 2 4 moet zijn. Dan komen ze tot het an twoord 8. Bij het opschrijven van de som verandert dit in 2 8. Drie van de vier leerlingen komen tot de con- clusie dat het 2 8 moet zijn. Een leerling k ijkt nog eens opnieuw en komt toch tot 2 4. Hij legt aan het groepje ui t waarom hij vindt dat het 2 4moet zijn en weet ze te overtuigen. Hier zien we dat het antwoord interfe- reert met de notatie van de keersom. Ook hier kan de vraag gesteld worden of de leerlingen weten wat een keersom in essentie is. Bij één leerling blijktdit wel het geval te zijn. De meerwaarde van het supermarktbezoek is gelegen in het feit dat leer- lingen met elkaar in een alledaagse om geving tot interactie komen en dat conflictsituaties worden opgelost. He t drijfvermogen is die ochtend aan- zienlijk toegenomen. De le erkracht kon nadien iede re keer weer terugval- len op wat de leerlingen in de supermarkt gedaan hadden.5als leren vermenigvuldigen moeizaam gaatVeel leerlingen leren, al dan niet met moeite, vermenigvuldigen, maar er zijn ook leerlingen bij wie het moeizaam blijft gaan. Wat doe je dan? Blijven herhalen of opgeven en tafelkaarten en de rekenmachine inzetten? Vanuit het project Speciaal Rekene n is gezocht naar een op lossing waarbij de mo- gelijkheid van het kind centraal staat. Daartoe is er een ‚peilinginstrument™ ontwikkeld voor zwakke rekenaars in het s(b)o. Het begrip ‚peiling™ heeft vele beteke nissen. Met ‚peiling™ bedoelen we hier een observatie-instrument om meer zi cht te krijgen in de vaardigheden van de leerling op het gebied van he t (tellend) vermenigvuldigen. Het moet niet opgevat worden als een diagnost isch instrument waarmee een reken-stoornis kan worden opgespoord. De ‚Peiling Vermenigvuldigen™ is bedo eld om leerkrachten te ondersteunen bij het maken van keuzes ten aanzien van het leerstofaanbod voor deze zwakke rekenaars op het gebied van vermenigvuldigen. Met zwakke reke- naars doelen we specifiek op kinderen van rond de tien jaar, die op onge- veer groep 4 niveau werken en moei te hebben met vermenigvuldigen. Ook hebben ze veelal de basisautomatisme n voor optellen en aftrekken nog niet onder de knie. De ‚Peiling Vermen igvuldigen™ richt zich op de meest
PAGE – 5 ============
Als leren vermenigvuldigen moeizaam gaat137basale vorm van vermenigvuldigen, het tellend vermenigvuldigen. Binnenhet tellend vermenigvuldigen zijn de volgende vaardigheden van belang: ŒStructuren zien en gebruiken: Œongestructureerde hoeveelheden; Œ(gedeeltelijk) gestructureerde hoeveelheden. ŒHerhaalde optelling he rkennen en gebruiken;ŒKoppelen van herhaalde opte llingen aan formele keersommen;ŒRelaties zien en gebruiken: ŒVerkortingen in optelsommen; Œdezelfde herhaalde optelling zi en in verschillende contexten. De ‚Peiling Vermenigvuld igen™ bestaat uit verschillende opdrachten die de leerkracht individueel aa n de leerling voorlegt. B ij deze opdrachten heeft de leerling vaardigheden uit het dr ijfvermogen van vermenigvuldigen no- dig. Bij elke opdracht zijn interven ties beschreven die de leerkracht kan toepassen om duidelijk te krijgen wa t de leerling kan op het gebied van vermenigvuldigen. De leerkracht obser veert de reacties van de leerling en brengt aan de hand van een protoc olformulier in kaart welke bovenge- noemde vaardigheden de leerling be heerst. Deze mogelijkheden van het kind vormen vervolgens het uitgangs punt voor een vervolgtraject waarvoor in de ‚Peiling Vermenigvuldigen™ su ggesties gedaan worden. De opdrachten zijn in verschillende vers ies aan een groot aantal zwakke rekenaars in het s(b)o voorgelegd. Deze ervaringen zijn bijzonder waardevol en noodzakelijk geweest voor de uiteindelijke versie van de peiling. 6Peiling Vermenigvuldigen De ‚Peiling Vermenigvuldigen™ illustre ren we hierna aan de hand van en- kele opdrachten over de vaardigheid van de leerlin g om structuren te zien en te gebruiken. Met tw ee van deze opdrachten wordt tegelijk ook informa-tie verzameld over de vaardigheid om herhaalde optelling te herkennen en te gebruiken. In het vo orbeeld beschrijven we ho e leerling Lex de opdrach- ten doet. Lex is tien jaar en we rkt met de methode ‚Plusp unt groep™ 4. Hij maakt kennis met keersommen en tafels, maar heeft hier moeite mee. De leer- kracht zegt over het vermenigvuldigen bij Lex dat hij ‚alles lijkt te vergeten en elke dag weer opnieuw moet beginn en™. Lex zelf geef t aan ‚helemaal geen keersommen te kunnen™. Hij weet alle en ‚dat keersommen groepjes zijn, maar meer weet ik niet ™. Verder vindt hij het ook jammer dat hij nog geenkeersommen kan.
PAGE – 6 ============
G. Schoeman, I. Verbruggen & N. Figueiredo138gestructureerde hoeveelheden Het rechthoeksmodel is een van de ba sisstructuren bij het vermenigvuldi-gen. Kinderen moeten bijvoorbeeld vast stellen hoeveel tegels er op een te-gelvloer liggen, hoeveel koekjes er op een plaat liggen, of hoeveel stickers er op een velletje zitten. Hierbij gaan we uit van de veronderstelling dat de leerling de gegeven structuur herken t en ook begrijpt waarom het handig is om deze structuur te gebruiken. Voor zwakke rekenaars is dit echter niet vanzelfsprekend. Zij herkennen wellicht wel dat een opgave een zekere structuur heeft (‚he t zijn er 4 en 4 en 4 en 4™), maar gebruiken dit gege ven niet bij het oplossen van het pro- bleem. Voor een deel kan dit liggen aan de optelvaardigheid. Een andere basisstructuur die veelvul dig voorkomt, is het groepjesmodel,dat je onder andere terugz iet in verpakkingen. Bij de ze structuur is het es- sentieel dat de leerling doorziet dat het gaat om een herhaalde optelling. opdracht 1De leerling krijgt de volgende afbeeldi ng van een stickervel te zien (fig.3). De vraag is: ‚Hoeveel stickers zijn dit?™ figuur 3Om ook zicht te krijgen op de manier waarop de leerling het aantal stickers heeft bepaald, kan een verv olgvraag zijn: ‚Hoe heb je dat gezien?™ De ver-
PAGE – 8 ============
G. Schoeman, I. Verbruggen & N. Figueiredo140opdracht 3De leerling krijgt een puzzel van tw intig stukjes in de structuur 4 5 voor zich (fig.6). De vraag is: ‚Hoeveel stuk jes heeft deze puzzel?™ De verwachting is dat de kinderen gebr uik maken van de structuu r van de puzzel: op elke rij zitten vijf puzzelstukjes aan elkaar vast. figuur 6Lex begint linksboven aan de puzzel te tellen. Hij telt eerst twee stukjes, vervolgens weer twee tot vier stukje s. Dan moet hij de bocht om naar de volgende rij en telt vijf (fig.7). figuur 7
PAGE – 9 ============
Als leren vermenigvuldigen moeizaam gaat141Op de volgende rij gaat hij verder met de stappe n van twee: 7, 9, 10. Hij gebruikt niet de 5 om van daaruit verd er te tellen. Hij ko mt op deze manier tot twintig stukjes. ‚Kun je ze misschien ook nog op een andere manier tellen?™Lex denkt hardop hoe hij op een an dere manier tot twintig kan komen, zonder de puzzel daarbij te bekijken of in te betrekken. Hij zegt: ‚Ik doe 10 erbij 10, dat is ook 20.™ ‚Waar zie je 10 dan in de puzzel?™ Lex gaat nu de puzzel weer bekijken. Het duurt even voordat hij de 10 in de puzzel heeft gevonden. Ui teindelijk wijst hij op de twee bovenste rijen en doet moeite om te ve rwoorden wat hij bedoelt. Hij telt dat er vijf stukjes op een rij zitten: ‚Nou – hier – hier, volgens mij – ja, want ik heb, kijk – hier boven zitten er 5, en–daaronder moeten er net zoveel stukjes zitten zodat ze eraan vast kunnen. Dat is weer 5, en dat is dan 10. Wat in de opdrachten naar voren komt over Lex is dat hi j de (vijf)structuur kan gebruiken, als hij deze herkent. Hij telt immers soepel van met spron- gen van vijf het aantal koekjes in het pak. Hij ziet bij de puzzel de struc- tuur echter niet meteen en gebruikt deze in eerste in stantie ook niet. In dat geval verloopt het tellen lastiger. De structuren van de twee opdrach- ten zijn verschillend (de puzzel heef t een rechthoekstructuur, de koekjes zijn in groepjes geordend). Bij de st ickers ziet Lex de structuur van vier wel, maar het is voor he m waarschijnlijk lastig om deze te gebruiken, om- dat hij de optelvaardigheid mist. He t tellen met stappen van twee geeft hem meer zekerheid om tot het juiste antwoord te komen. Lex zou meer oog moeten krijgen voor structuren met een verschillend ui- terlijk, zodat hij ook in andere gevallen de structuur kan gebruiken.7vervolgtrajectHoe nu verder te gaan me t Lex en vergelijkbare l eerlingen? In de ‚Peiling Vermenigvuldigen™ doet ‚Speciaal Reke nen™ suggesties v oor vervolgtrajec- ten. Centraal hierin staat het aansl uiten bij de mogelijkheden die het kind heeft. Het feit dat Lex vijfstructur en kan gebruiken om opdrachten rond vermenigvuldigsituaties – zij het in ver pakte vorm – op te lossen, kan benut worden om aan de andere basisvaa rdigheden voor vermenigvuldigen te werken. Daarbij zou hij moeten werk en aan het herke nnen van structu-ren, ook bij grotere hoeveelheden. In reken-wiskundemethoden staan me t regelmaat opdrachten rond ge- structureerde hoeveelheden. Vaak ga at het hier dan om het formuleren van de vermenigvuldigsom en om het bepalen van het totale aantal. Met een andere vraagstelling zou je aan de hand van deze opdrachten kunnen
PAGE – 10 ============
G. Schoeman, I. Verbruggen & N. Figueiredo142werken aan het herkennen van stru cturen. Je zou bijvoorbeeld kunnen vragen hoe de stickers op een sticke rvel geordend zijn of bij welk vel stickers je het makkelijks te kunt zien hoeveel het er zijn. Op deze manier kunnen opdrachten in de methode ook bij het nive au van de zwakke leer- ling aansluiten. Lex weet verder dat er bij vermenigvu ldigen ‚iets met groepjes™ is. De link tussen ‚groepjes™ en vermenigvuldigso mmen legt hij echter nog niet. Waar- schijnlijk heeft hij op concreet nive au geoefend met groepjes maken en herhaald optellen en is in de method e vervolgens de overstap naar de for- mele sommen gemaakt. Dat is een grote stap die vaak te vlug wordt gezet. Zeker voor kinderen zoals Lex. Onder andere de map ‚Vermenigvuldi gen™ van ‚Speciaal Rekenen™ (2004) (katern ‚Van lichaamstafels tot stickers ™) biedt activiteiten om te werken aan de vaardigheid ‚koppelen van herhaalde optellingen aan formele keersommen™. optelvaardigheden Vaak vormen de beperkte optelvaard igheden van leerlingen een struikel- blok bij het leren vermenigvuldigen. In de Peiling Vermenigvuldigen van Speciaal Rekenen doen we enkele suggesties om hi er mee om te gaan. Zo kun je aan de hand van herhaalde op tellingen die het kind wel kent, bij- voorbeeld tellen met sprongen van v ijf, werken aan andere vaardigheden. Ook de rekenmachine kan een oplossin g zijn om het kind de uitkomsten van een opdracht te laten uitrekenen , zodat zijn aandacht kan gaan naar het begrip van de vermenigvuldigsom of -situatie. 8Conclusie We hebben ervaren dat de ‚Peiling Vermenigvuldigen ™ de leerkracht onder- steuning biedt bij het maken van een beslissing over het leerstofaanbod voor leerlingen voor wie het leren vermenigvuldigen erg moeizaam gaat. Dit is ook het doel van het instrument. Be nadrukt moet worden dat de ‚Peiling Vermenigvuldigen™ niet als diagnostisch instrument is ontworpen. De boodschap van het project ‚Speciaa l Rekenen™ is dat het essentieel is om bij het leerstofaanbod voor deze ki nderen aan te sluiten bij de moge- lijkheden van het kind en er voor te wake n niet te snel te formeel in te ste- ken. Dat betekent dat soms de beslissing zal worden genomen om voorlo- pig niet te gaan automatiseren of daar voorlopig mee te stoppen indien het kind er al mee bezig is. Het betekent echter niet dat het vervolgtraject een vaststaand gegeven is. Het is belangrijk het kind te blijven volgen en in de
PAGE – 11 ============
Als leren vermenigvuldigen moeizaam gaat143gaten te houden waar het kind behoef te aan heeft en waar het aan toe is.De ‚Peiling Vermenigvuldigen™ is ontw orpen voor zwakke leerlingen in het s(b)o, maar de manier van werken ka n, ons inziens, ook toegepast worden in het reguliere onderwijs of op ande re rekendomeinen. De essentie is dat als een leerling afhaakt op rekengebie d, de leerkracht onderzoekt wat de leerling nog wel kan en di t gebruikt bij het rekenp rogramma voor dit kind. Aan de hand van de Peiling Vermenigvu ldigen kan een beslissing over het leerstofaanbod in het gebied vermenigvuldigen vergemakkelijkt worden. literatuurBoswinkel, N. & F. Moerlands (2003). Het topje van de ijsberg. Utrecht: Freudenthal Instituut. www.speciaalrekenen.nl Ministerie van Onderwijs, Cult uur en Wetenschap. (2007). Invoeringsplan PassendOnderwijs. Speciaal Rekenen (2004). Vermenigvuldigen groep 4 en 5. Realistisch rekenen in het speciaal (basis) onderwijs. Utrecht: Freudenthal Instituut. Terlouw, B. & G. Schoeman (2006). Werk en aan begripsvorming bij keersommen. Volgens Bartjens–, 25 (5), 9-12. Treffers, A., M. van den Heuvel-Pan huizen & K. Buijs (red). (1999). Jonge kinderenleren rekenen. Tussendo elen Annex Leerlijnen. Groningen: Wolters Noordhoff.
81 KB – 11 Pages