Viene estratta una pallina da ogni urna. Qual è la probabilità che siano entrambe nere? L’evento «vengono estratte due palline nere» è composto dai due eventi.
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11.Gli eventi e la probabilità Eventi certi, impossibili, aleatori Ci sono avvenimenti che accadono con certezza, mentre altri sicuramen- te non possono mai verificarsi. Per esempio, se una scatola contiene sol- tanto palline nere, estraendone una a caso siamo sicuri che è nera, men- tre è impossibile estrarre una pallina bianca. Chiamiamo gli avvenimenti del primo tipo eventi certi e quelli del se- condo tipo eventi impossibili .Ci sono anche eventi che possono accadere, ma senza certezza. Se la sca- tola contiene sia palline bianche sia palline nere, l’estrazione di una palli- na bianca è un evento possibile ma non certo, così come l’estrazione di una pallina nera. In altre parole, non possiamo prevedere il colore della pallina estratta, perché l’estrazione è casuale .Un fatto che può accadere o non accadere in modo casuale è detto evento aleatorio . Per esempio, essere interrogati in matematica nell’arco di una settimana di lezioni è un evento aleatorio. È opportuno osservare che uno stesso evento può essere certo, aleatorio o impossibile a seconda del contesto in cui viene considerato. Aleatorioderiva dal la-tino ¯alea, che significa«gioco dei dadi». Il lanciodi un dado è il classicoesempio di evento aleato-rio.TEORIAIntroduzione alla probabilità Il dilemma di Monty Hall In un popolare show televisivo americano il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse. Dietro a una di esse si cela il premio in palio, un’automobile; le altre due nascondono una capra. Il giocatore sceglie una delle tre porte, poi il conduttore, che sa qual è quella vincente, ne apre un’altra mostrando una capra. A questo punto il concorrente deve fare la scelta definitiva… …è più conveniente confermare oppure cambiare porta per ottenere il premio? La risposta a pag. 19CAPITOLO
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2CAPITOLO .INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀTEORIAD’ora in poi indichere-mo un evento con una let- tera maiuscola, per esem-pio E, e la probabilità chel’evento si verifichi con ilsimbolo p(E).ESEMPIOL’evento «Susy vince alla lotteria» è certo se Susy compra tutti i biglietti della lotteria, è impossibile se non ne compra nemmeno uno, è aleatorio se ne compra uno o più di uno, ma non tutti. La probabilità di un evento Il fatto che certi eventi siano aleatori ha portato l’uomo a formulare scommesse sul loro accadere. Il concetto di probabilità è nato proprio per effetto dei giochi d’azzardo! Consideriamo il seguente gioco.Hai di fronte due mazzi di carte, Ae B,così composti: Acontiene 10 carte con figure e 3 carte senza figure; Bèformato da 12 carte con figure e 6 senza figure. Devi scegliere una carta da uno dei due mazzi: vinci se scegli una figura. Da quale mazzo convie- ne scegliere la carta? Il gioco è interpretabile come un esperimento che ha carattere aleatorio, in quanto il risultato non dipende da una legge precisa ma, di volta in volta, è imprevedibile. Se le carte non sono truccate, le estrazioni di una carta dai due mazzi sono tutte ugualmente possibili , poiché le carte sono coperte e non pos- siamo distinguerle l’una dall’altra. Chiamiamo casipossibili tutti i risultati che possono verificarsi. Per il mazzo Ai casi possibili sono 13, mentre per il mazzo Bsono 18. Chiamiamo casi favorevoli quelli in cui si verifica l’evento che fa vincere. Poiché per vincere bisogna estrarre una figura, i casi favorevoli sono tanti quante le carte con figure: 10 per il mazzo Ae 12 per il mazzo B.Consideriamo il rapporto fra i casi favorevoli e quelli possibili: mazzo A: 1103;mazzo B: 1128.Poiché 1103è maggiore di 1128, conviene scegliere il mazzo A!Il quoziente fornisce una stima sulla possibi- lità che si verifichi un determinato evento e viene chiamato probabilità di quell’evento. numero dei casi favorevoli numero dei casi possibili Probabilità La probabilità di un evento è il quoziente fra il numero dei casi fa- vorevoli fe quello dei casi possibili u, quando essi sono tutti ugual- mente possibili. DEFINIZIONEprobabilità di Enumero dei casi favorevolinumero dei casi possibilip (E) = —fu
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3Paragrafo 1.Gli eventi e la probabilità TEORIAESEMPIONel lancio di un dado a sei facce consideriamo i seguenti eventi: E1«esce il 4»; E2«esce un numero dispari»; E3«esce un numero maggiore di 2». Calcoliamo la probabilità di ciascun evento nell’ipotesi che il dado non sia truccato: p(E1)16(casi possibili 6, casi favorevoli 1); p(E2)3612(casi favorevoli: numeri 1, 3, 5); p(E3)4623(casi favorevoli: numeri 3, 4, 5, 6). I valori della probabilità Abbiamo detto che urappresenta il numero dei casi possibili e fil nume- ro dei casi favorevoli. Se un evento è impossibile, il numerodei casi favorevoli è 0; quindi pufu00.Pertanto la probabilità di un evento impossibile è 0 .Se un evento è certo, il numero dei casi favorevoli è uguale a quello dei casi possibili; quindi pufuu1. La probabilità di un evento certo è 1 .Per gli eventi aleatori, il numero fdei casi favorevoli è compreso fra 0 e u: 0fu. Dividendo tutti i termini della doppia disuguaglianza per u, si ottiene: u0ufuu,ossia0 p1.Pertanto la probabilità di un evento aleatorio è un numero compreso fra 0 e 1 .In generale , considerando assieme i tre casi, possiamo dire che la proba- bilità di un evento è compresa fra 0 e 1, estremi inclusi: 0p1.Spesso il valore dellaprobabilità viene espresso in termini percentuali. Peresempio, un evento certosi verificherà al 100%.
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4CAPITOLO .INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀTEORIAGli eventi e gli insiemi Consideriamo il lancio di un dado e l’evento«esce un numero dispari». Per descrivere la situazione possiamo utilizzare il linguaggio degli insiemi. I casi possibili sono 6, quindi l’insieme universo è U{1, 2, 3, 4, 5, 6}. I casi favorevoli sono tre; infatti l’evento è verificato quando escono 1, 3, oppure 5. Indichiamo con Fl’insieme dei casi favorevoli: F{1, 3, 5}. Poiché Fè un sottoinsieme di U, il numero degli elementi di Fè sempre minore o uguale al numero degli elementi di U. Se l’insieme Fnon ha ele- menti, cioè F, allora l’evento è impossibile; se Fcoincide con l’insie- me universo U, allora l’evento è certo. L’evento contrario e la sua probabilità Dato un evento E, il suo evento contrario è quell’evento che si verifica quando e solo quando non si verifica E, e lo indichiamo con il simbolo E.ESEMPIONel lancio di un dado, l’evento contrario dell’uscita di un numero pari è l’uscita di un numero dispari. DIMOSTRAZIONESe fè il numero di casi favorevoli dell’evento Ee uil numero dei casi pos- sibili, il numero dei casi favorevoli dell’evento contrario è uf, quindi: p(E)p(E)ufuuffuufuu1.2.La probabilità della somma logica di eventi L’evento unione Consideriamo 12 dischetti numerati da 1 a 12 e gli eventi: E1«esce un numero pari»; E2«esce un numero maggiore di 7». Se Nè l’insieme dei casi fa-vorevoli all’evento E, i casifavorevoli all’evento con- trario Eappartengono al complementare Ndi Nri-spetto a U, ossia all’insie-me degli elementi di Uchenon appartengono a N.123456FUNN–ULa somma della probabilità di un evento e di quella del suo evento con- trario è 1: p(E)p(E)1.TEOREMAL’insieme Udi tutti icasi possibili si chiama in-sieme universo.
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5Paragrafo 2.La probabilità della somma logica di eventi TEORIAL’insieme dei casi favorevoli a E1è A{2, 4, 6, 8, 10, 12}.L’insieme dei casi favorevoli a E2è B{8, 9, 10, 11, 12}.L’evento E«esce un numero pari omaggiore di 7» è formato dai due eventi E1ed E2, uniti dal connettivo «o». Questo evento si verifica se si verifica E1oppure E2, perciò è detto evento unione o somma logica di E1ed E2.L’evento Eha come casi favorevoli sia quelli dell’insieme Asia quelli dell’insieme B.L’insieme che lo rappresenta è quindi l’unione dei due insiemi: AB{2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12}.L’evento intersezione Consideriamo ancora fra i 12 dischetti numerati l’evento E«esce un numero pari emaggiore di 7», formato dai due eventi semplici E1ed E2, uniti dal connettivo «e». Que- sto evento si verifica se si verificano entrambi gli eventi E1ed E2, perciò è detto evento intersezione o prodotto logico di E1ed E2. Esso ha come casi favorevoli quelli comuni all’insieme Ae all’insieme B. L’insieme che lo rappresenta è l’insieme intersezione: AB{8, 10, 12}.Evento intersezione Dati gli eventi E1ed E2, relativi allo stesso insieme universo, il loro evento intersezione, che indichia- mo con E1E2, è quell’evento che si verifica quando si verificano contemporaneamente gli eventi dati. DEFINIZIONEUABA BEvento unione Dati gli eventi E1, E2, relativi allo stesso insieme universo, il loro evento unione, che indichiamo con E1E2, è quell’evento che si veri- fica al verificarsi di almeno uno de- gli eventi dati. DEFINIZIONEUA BAB121110987654321ABUA BCome nell’esempio pre-cedente, nella figura della definizione, Aè l’insiemedei casi favorevoli a E1, Bquello dei casi favorevoli a E2. Allora ABè l’insie-me dei casi favorevoli a E1E2.Le notazioni sono lestesse della definizione precedente. Quindi ABè l’insieme dei casi favore-voli a E1E2.Osserva che, nonostantela notazione insiemistica, E1E2ed E1E2nonsono unione e intersezionedi insiemi.121110987654321UABA B
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6CAPITOLO .INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀTEORIAGli eventi compatibili e gli eventi incompatibili Facendo sempre riferimento all’esempio dei 12 dischetti numerati, osser- viamo che gli eventi E1ed E2possono verificarsi contemporaneamente :per esempio, estraendo il dischetto col numero 10, otteniamo sia un nu- mero pari sia un numero maggiore di 7. In questo caso si dice che gli eventi sono compatibili .Consideriamo ora gli eventi: E3«esce un multiplo di 5»; E4«esce un multiplo di 3». Questi due eventi, invece, non possono verificarsi contemporaneamente, e sono chiamati eventi incompatibili .In generale due eventi, relativi allo stesso insieme universo, si dicono incompatibili se il verificarsi di uno esclude il verificarsi contempora- neo dell’altro.In caso contrario si dicono compatibili .Il teorema della somma per eventi incompatibili Riprendiamo l’esempio dei 12 dischetti numerati e consideriamo i due eventi incompatibili E3«esce un multiplo di 5»; E4«esce un multiplo di 3». Cerchiamo la probabilità dell’evento unione E«esce un multiplo di 5 o di 3». I casi favorevoli di E3sono 2, quelli di E4sono 4. Pertanto i casi favorevoli di Esono 6, mentre i casi possibili sono 12. La probabilità dell’evento Eèuguale alla somma delle due probabilità: p(E)162122142p(E3)p(E4).Vale il seguente teorema. Se i dischetti fossero 20,i due eventi resterebberoincompatibili?Teorema della somma per eventi incompatibili Se due eventi, E1ed E2, sono incompatibili, la probabilità del loro evento unione è uguale alla somma delle loro probabilità. p(E1E2)p(E1)p(E2).TEOREMA
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8CAPITOLO .INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀTEORIAIn generale, vale il seguente teorema. ESEMPIODentro un’urna vi sono 30 palline: 10 bianche numerate da 1 a 10, 10 rosse e 10 gialle numerate allo stesso modo. Calcoliamo la probabilità che, estraendone una a caso, venga estratta una pallina gialla o pari. Il numero totale di palline è 30. La probabilità che venga estratta una gialla è p(G)130013.Le palline con numero pari sono 5 per ogni colore, quindi 15. La proba- bilità che venga estratto un numero pari è p(P)135012.Gli eventi sono compatibili; i casi favorevoli a entrambi gli eventi (pallina gialla e pari) sono 5. La probabilità dell’evento cercato è p131235023.3.La probabilità del prodotto logico di eventi La probabilità condizionata Come si determina la probabilità di un evento che dipende da un altro evento? Consideriamo di nuovo il sacchetto con i gettoni numerati da 1 a 12 e i due eventi: E1«esce un multiplo di 3»; E2«esce un numero minore di 9». L’insieme universo è dato da U{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, quel- lo dei casi favorevoli a E1è A{3, 6, 9, 12}, quello dei casi favorevoli a E2è B{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.La probabilità di E1è: p(E1)14213.Supponiamo che un amico estragga un numero e, senza farcelo vedere, ci dica che esso è minore di 9, ossia che si è verificato l’evento E2.Teorema della somma per eventi compatibili Se due eventi E1ed E2sono compatibili, la probabilità del loro evento unione è uguale alla somma delle loro probabilità, diminuita della proba- bilità del loro evento intersezione. p(E1E2)p(E1)p(E2)p(E1E2).TEOREMAIl teorema vale anchenel caso di eventi incom- patibili. Infatti se E1ed E2sono incompatibili, l’insie-me dei risultati favorevoli a E1E2è vuoto, cioè ilnumero di casi favorevoli è 0. Pertanto anche la pro-babilità è 0 e si riottiene larelazione già studiatap(E1E2)p(E1)p(E2).123456789101234567891012345678910
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9Paragrafo 3.La probabilità del prodotto logico di eventi TEORIACosa possiamo dire, ora, della probabilità che il numero estratto sia mul- tiplo di 3, ossia di p(E1)?L’evento E1è condizionato dall’evento E2: il fatto che E2si sia verificato ci dà alcune informazioni in più sulla possibilità che si verifichi E1.Indichiamo la probabilità di E1, calcolata nell’ipotesi che E2si sia verifi- cato, con il simbolo p(E1E2).Chiamiamo p(E1E2)probabilità di E1condizionata a E2.Per calcolare la probabilità condizionata teniamo presente che: poiché supponiamo che l’evento E2si sia verificato, l’insieme universo Uper E1E2è dato dai risultati favorevoli a E2, cioè UB{1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8};i casi favorevoli per E1E2devono essere ricercati solo all’interno del nuovo insieme universo; quindi sono dati dall’intersezione tra i casi fa- vorevoli per E1(insieme A) e quelli per E2(insieme B).L’insieme Fdei casi favorevoli è dato da FAB{3, 6}.Dunque p(E1E2)è data dal rapporto tra il numero di elementi di Fe il numero di elementi di U:p(E1E2)2814.La probabilità di E1è 13, mentre quella di E1condizionata a E2è 14, quindi: p(E1)p(E1E2).Consideriamo ora un altro caso con i due eventi: E1«esce un multiplo di 3»; E3«esce un numero pari». Supponiamo che il nostro amico ci dica che ha estratto un numero pari, ossia che si è verificato l’evento E3rappresentato dall’insieme C{2, 4,6, 8, 10, 12}. Se si è verificato l’evento E3, i casi possibili che il numero uscito sia multi- plo di 3, cioè dell’evento E1condizionato dall’evento E3, sono 6 e quelli favorevoli 2, cioè quelli dell’insieme AC{6, 12}.La probabilità di E1condizionata a E3è:p(E1E3)2613.A differenza del primo caso, in questo esempio le due probabilità sono uguali, p(E1)p(E1E3).Due eventi, E1ed E2, si dicono dipendenti se p(E1) è diversa dalla pro- babilità condizionata p(E1E2).Gli eventi E1ed E2si dicono indipendenti se p(E1) è uguale alla proba- bilità condizionata p(E1E2).UAB = U’12936842511101casi possibilicasi favorevoli7AUC73961224108A Ccasi possibilicasifavorevoli5111Si può dimostrare che larelazione di indipendenza è simmetrica, ossia che sel’evento E1è indipendentedall’evento E2,cioè p(E1)p(E1E2),allora anche E2è indipen-dente da E1, cioèp(E2)p(E2E1).
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10CAPITOLO .INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀTEORIALe definizioni si interpretano come segue: due eventi sono indipendenti se il verificarsi di uno non modifica la probabilità che anche l’altro si veri- fichi. ESEMPIOLanciamo contemporaneamente una moneta e un dado, e con- sideriamo i due eventi «esce testa» ed «esce il numero 2». Fra i due eventi non c’è nessun legame, ognuno si può verificare indipen- dentemente dall’altro. In altri termini, la probabilità che esca testa sulla moneta non influenza la probabilità che esca il numero 2 sul dado. Questi sono eventi indipendenti. Il teorema del prodotto per eventi indipendenti Consideriamo un sacchetto che contiene tre gettoni con i numeri 1, 2, 3. Dal sacchetto estraiamo un gettone e poi un secondo gettone, dopo che il primo è stato rimesso nel sacchetto .Qual è la probabilità che in due estrazioni successive vengano estratti due numeri dispari? I casi possibili si possono ottenere mediante il diagramma cartesiano della figura 1. Per esempio, la cop- pia (3; 2) indica che è stato estratto prima il gettone 3, poi il gettone 2. L’evento composto E«escono due numeri dispari» può essere visto come l’evento intersezione dei due eventi semplici: E1«il primo numero è dispari»; E2«il secondo numero è dispari». E1ed E2sono indipendenti; infatti, dopo la prima estrazione, il gettone è rimesso nel sacchetto e la situazione iniziale viene ripristinata. Poiché i numeri dispari sono 2 e i casi possibili 3, le probabilità di E1edE2sono: p(E1)23,p(E2)23.I casi favorevoli all’evento composto Ecorrispondono alle coppie (1; 1), (1; 3), (3; 1), (3; 3); quindi sono 4. I casi possibili, come è già stato illu- strato nella figura 1, sono 9, quindi: p(E)49.prima estrazione231231(1; 1)(2; 1)(3; 1) (1; 2)(2; 2)(3; 2) (1; 3)(2; 3)(3; 3) seconda estrazioneFigura 1In un sacchettoci sono tre gettoni con scritti i numeri 1, 2 e 3. I casi possibili nelle estrazioni successive di un gettone e di un secondo gettone sono 9 e possono essere rappre- sentati dalle coppie del pro- dotto cartesiano.
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11Paragrafo 3.La probabilità del prodotto logico di eventi TEORIAOsserviamo che 492323, ossia la probabilità dell’evento E, che è l’intersezione di E1ed E2, è data dal prodotto della probabilità di E1 per laprobabilità di E2.In generale vale il seguente teorema. ESEMPIODue urne contengono: urna 1: 5 palline bianche e 5 nere; urna 2: 8 palline bianche e 4 nere. Viene estratta una pallina da ogni urna. Qual è la probabilità che siano entrambe nere? L’evento «vengono estratte due palline nere» è composto dai due eventi semplici: E1«viene estratta una pallina nera dall’urna 1»; E2«viene estratta una pallina nera dall’urna 2». Si ha: p(E1)15012e p(E2)14213.Gli eventi sono indipendenti; quindi la probabilità dell’evento intersezio- ne è: p(E1E2)p(E1)p(E2)p1p2121316.Il teorema del prodotto per eventi dipendenti Consideriamo ancora il sacchetto con tre gettoni che hanno i numeri 1, 2, 3 e gli eventi E1«il primo estratto è dispari», E2«il secondo estratto è dispari», ma supponiamo che, dopo la prima estrazione, il gettone non venga rimesso nel sacchetto .Gli eventi sono dipendenti: infatti, la probabilità del secondo evento non è più quella di prima, perché la composizione iniziale del sacchetto risul- ta modificata. I due eventi semplici non hanno lo stesso insieme universo: nella prima estrazione Ucontiene 3 elementi, nella seconda ne contiene solo 2. Teorema del prodotto per eventi indipendenti Se due eventi, E1ed E2, sono indipendenti, la probabilità del loro evento intersezione è uguale al prodotto delle loro probabilità. p(E1E2)p(E1)p(E2).TEOREMAurna 1urna 2
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