waarschijnlijkheid hangen. Het is niet de taak van de wis- kundige om daarover ‘bindende’ uitspraken te doen: het toepassen van een wiskundige theorie is de
9 pages
200 KB – 9 Pages
PAGE – 1 ============
Nieuwe Wiskrant 26-2/december 2006 39InleidingEr zijn inmiddels veel wis kundige theorieën met een er- kende status. Het is al heel lang niet meer zo dat de wis- kunde overzichtelijk ingedeeld wordt in slechts enkele deelgebieden, zoals de algebra en meetkunde van de schoolwiskunde in de eerste vijf, zes decennia van de vo- rige eeuw: de wiskunde beslaat een immens gebied. fig. 1Blaise Pascal (1623 Œ 1662) In dit immense gebied bevindt zich de waarschijnlijk- heidstheorie. Het is niet duideli jk wat er in de vroegste tij- den met het begrip waarschijnlijkheid werd gedaan. Rond het midden van de zeventiende eeuw begint het begrip in de intellectuele geschiedenis van Europa duidelijk vorm te krijgen en vanaf die tijd begint er een goed te volgen stroom van artikelen en boeken over te ontstaan. Beroem- de namen die in de eerste honderdvijftig jaar een rol spe- len: Blaise Pascal, Fermat, Christiaan Huygens, Johan de Witt (inderdaad, de door het grauw schandelijk vermoor- de raadpensionaris) in de zeventiende eeuw, de telgen uit het geslacht der Bernoulli™s, Abraham de Moivre, Tho- mas Bayes, Pierre-Simon La place in de eeuw daarna. Pas in 1933 vindt een axiomatisering plaats van de waar- schijnlijkheidstheorie door de veelzijdige Rus Andrey Kolmogorov. Die axiomatisering is een codificering van een vaag, intuïtief begrip ‚kans™ of ‚waarschijnlijkheid™ dat we allemaal wel hebben. Zoals de Euclidische meet- kunde axiomatisch is opgezet, zo kan van ieder gebied in de wiskunde een axiomatische opzet worden gepresen- teerd. Dat is alleen lange tijd helemaal niet zo gebruike- lijk geweest. In 1812 bijvoorbeeld laat Laplace aan zijn behandeling van de waarschijnlijkheidstheorie geen axiomastelsel in de huidige strenge betekenis vooraf- gaan. Vanaf het moment dat zo™n axiomasysteem bestaat, is het duidelijk hoe er met dit math ematische begrip moet wor- den gewerkt. Maar de gebruiker van zo™n systeem kan nog altijd zijn eigen interpretatie aan deze mathematische waarschijnlijkheid hangen. Het is niet de taak van de wis- kundige om daarover ‚bindende™ uitspraken te doen: het toepassen van een wiskundige theorie is de verantwoor- delijkheid van de gebruiker. Merkwaardig genoeg hebben waarschijnlijkheidstheore- tici in het verleden heel vaak juist wel de toepasbaarheid aan de orde gesteld. Of bete r gezegd, zij laten zich uit over een ‚correcte™ opvatting van het begrip waarschijn- lijkheid. Een paar voorbeelden. In het eerste deel van het gezaghebbende leerboek van Feller wordt het gebruik dat Laplace maakte van waarschi jnlijkheid veroordeeld (Ru- le of succession). In het fraaie Nederlandse boek van Stam is de toon iets gematigder, maar ook hier spreekt de auteur zijn voorkeur uit. In het moderne boek van Grim- mett en Stirzaker laten de auteurs zich bij een van de voorbeelden (in een juridische context) ook iets ontvallen over de toepasbaarheid. Waarom vallen de hier genoemde wiskundigen zo uit hun rol en spreken zij zich uit ov er iets waarover zij gemeen- lijk hun mond houden? Waarschijnlijkheid, een wiskundig buitenbeentje?Pas in 1933 werd de waar schijnlijkheidstheorie geaxiomatiseerd. Daarmee werd voor de wiskundigen alles eenduidig. Maar daarmee kwam geen einde aan de verschei- denheid van interpretaties van de theor ie door de gebruikers, integendeel. ManuelNepveu en Nico Krijn, wiskundige en filosoof, in gesprek met elkaar.
PAGE – 2 ============
40Waarschijnlijkheid, een wiskundig buitenbeentje? DiscussieNK: In het algemeen staat de wiskundige praktijk ver van de filosofie. Het verschil tu ssen actuele en potentiële on- eindigheid speelt geen rol in de wiskundige praktijk, ook de vraag of de verzameling van alle verzamelingen be- staat, doet niet ter zake. De wiskundige praktijk geeft niet direct aanleiding tot filosofi sche vragen. Bij de waar- schijnlijkheidstheorie ligt da t anders. Bertrands para- doxen beslaan een scala van problemen binnen de waar- schijnlijkheidstheorie. Van Wesley Salmon leende ik de volgende variant: Stel dat we weten dat een auto tussen de één en twee mi- nuten nodig heeft om een kilo meter af te leggen, verder weten we niets over de tijd die nodig is. Als we het prin- cipe van indifferentie 1 toepassen, dan kunnen we conclu- deren dat de tijd die nodig is met dezelfde kans ligt tussen de één en anderhalve minuut, als tussen de anderhalve en twee minuten. Deze gegevens kunnen ook anders uitge- drukt worden. We weten dat de gemiddelde snelheid van de reis ligt tussen de dertig en zestig kilometer per uur. Verder weten we niets over de gemiddelde snelheid. Als we weer het beginsel van indifferentie toepassen, dan kunnen we concluderen dat de gemiddelde snelheid van de auto met dezelfde kans ligt tussen zestig en vijfenveer- tig kilometer per uur, als tussen vijfenveertig en dertig ki- lometer per uur. Helaas zijn de bovenstaande resultaten tegenstrijdig. De reistijd van anderhalve minuut komt overeen met een gemiddelde sn elheid van veertig kilo- meter per uur, niet met vijf enveertig kilometer per uur. Hoewel één contradictie geno eg is, staat dit voorbeeld niet op zichzelf. Gelijksoortige tegenstrijdigheden doen zich voor in elke situatie waarbij we te maken hebben met twee grootheden waartussen g een lineair verband is. Ui- teraard kun je veel voorkomen door geen gebruik te ma- ken van niet-lineaire functies , zoals logaritmische, kwa- dratische, en e-machtfunctie s en dergelijke, maar zelfs als je uitgaat van primaire grootheden als snelheid en tijd kom je in dit soort problemen. Bertrands paradoxen stem- men wiskundigen wellicht tot nadenken, want wat is de betekenis van de bepaalde waarschijnlijkheid? MN: Aha, de werkelijke of schijnbare contradicties. Ne- men we jouw voorbeeld. Inderdaad, als je voor de ge- noemde tijd een uniforme verdeling kiest, dan is de bijbe- horende verdeling voor de gemiddelde snelheden zeker geen uniforme verdeling en natuurlijk ook andersom. Dit voorbeeld laat zien dat je een keuze moet maken welke parameter je als de meest fundamentele beschouwt. Hier hebben we niet te maken met een ‚contradictie™, maar veeleer met een keuzeprobleem. Als je de ene verdeling kiest, dan ligt de andere vast. Je intuïtieve idee dat een uniforme verdeling van de ene grootheid met een unifor- me verdeling van de inverse moet corresponderen is wis- kundig onjuist. Je moet de wiskunde niet de schuld ge- ven, zoals een enkele filosoof wel eens doet, maar je ge- brekkige intuïtie! Dit soort voorbeelden leert je dat je intuïtie soms bijgeslepen moet worden. De inmiddels ge- storven natuurkundige Jaynes wijdt in zijn fraaie boek een dik hoofdstuk aan paradoxen, schijnbare tegenstrij- digheden. Steeds weer ontrafelt hij deze als zijnde het ge- volg van 1) gebrekkige intu ïtie, 2) verborgen aannames die fout blijken en eventueel 3) slordig gebruikte wiskun- de. Het kost mij niet de minste moeite je gek te krijgen met een aantal van zulke para doxen. Steeds weer blijkt dat niet de kansrekening fout ief is, tegenstrijdige resulta- ten geeft, maar dat de fout of impliciete slordigheid ligt bij degene die met de paradox op de proppen komt. Het is eigenlijk afgrijselijk platvloers.Vooral filosofen breken hier nogal eens hun nek. Zie je me lekker vals kijken? NK: Laat ik dan maar terugg aan naar een historische vraag. Het is niet duidelijk wat er in de vroegste tijden met het begrip waarschijnlijkhe id werd gedaan. De Grie- ken ontwikkelden geen waarschijnlijkheidstheorie. Zij waren hartstochtelijke gokkers en bekwame wiskundi- gen, maar hun wiskunde was niet geschikt om het gokken te analyseren. Als reden wordt vaak aangevoerd dat de Grieken niet over een algebraïsch systeem beschikten. Zou de binomiaaldistributie kunnen worden geformu- leerd zonder een goede algebr aïsche notatie? Kunnen de limietstellingen van Jakob Bernoulli en Abraham de Moivre ontwikkeld worden zonder gebruik te maken van de algebra en de analyse? fig. 2Abraham de Moivre (1667 Œ 1754) MN: Wanneer je beseft dat de Grieken er een duidelijk meetkundige of meetkundig geïnspireerde denktrant op na hielden, zul je begrijpen dat zij die vrij zeker ook in de kanswereld hadden ingevoerd, als zij daar werk van had- den gemaakt. De oude Grieken waren dan vlot in de pro- blemen gekomen. En wel als volgt. De binomiale verde-
PAGE – 3 ============
Nieuwe Wiskrant 26-2/december 2006 41ling ontstaat als je de macht ( p + q)n als een veelterm schrijft en stelt dat p (= kans op optreden van een bepaal- de uitkomst) + q (= kans op niet-optreden daarvan) = 1. De macht ( p + q)n kan nu ontwikkeld worden in een som van termen van het type waarbij de de zo- genaamde binomiaalcoëfficiën ten zijn. Voor de gevallen n = 1, n = 2, n = 3 hebben al deze termen een eenvoudige meetkundige interpretatie en een kansinterpretatie (kans dat precies k van n experimenten een ‚beoogd™ optreden oplevert). Die meetkundige interpretatie zou voor de Grie- ken zonder enige twijfel geen enkel probleem zijn geweest en zij zouden dan kansen in termen van (delen van) opper- vlakten en volumes hebben kunnen of moeten opvatten. Maar wat gebeurt er in het geval dat je binomiaalverdelin- gen beschouwt die betrekking hebben op vier of meer ex- perimenten? Dus wanneer n = 4 en meer? De Grieken zijn nooit tot hogerdimensionale meetkunden gekomen. Zij zouden een probleem hebben gehad. Dit alles is een ‚als™- redenering. As is verbrande turf, zegt men wel. Voor de limietstellingen die jij aanvoert (Wet van de gro- te aantallen en de Limietstelling van De Moivre), heb je echt het vak mathematische an alyse nodig om ze te kun- nen vinden. Bovendien heb je bij de eerste wet het inzicht nodig dat kansen iets te maken hebben met frequenties van resultaten op de lange duur. Als je ziet hoe lang het heeft geduurd voordat ook m aar iemand (Jakob Bernoul- li) expliciet een duidelijke definitie gaf van wat kansen zijn in de context van herhaalbare experimenten, kun je je voorstellen dat de afwezigheid van de Grieken op het ge- bied van de kansrekening niet zo vreemd was. Maar dit is alles speculatie, gevoed omda t wij op een paar duizend jaar geschiedenis terug kunnen kijken. fig. 3Jakob Bernoulli (1654 Œ 1705) Misschien heeft het ontbreken van kansrekening als ma- thematische discipline iets te maken met het wereldbeeld van de Grieken. Het aardige is dat in dat wereldbeeld de Kosmos en het Lot een hoofdrol spelen en dat de goden op het tweede plan komen. Ook de goden hebben niet alle macht om dingen steeds naar believen te veranderen. Je kunt wel proberen om ze via offers gunstig te stemmen, maar je weet nooit of ze wat voor je willen en zelfs maar kunnen doen; de Griekse goden hebben beperkte be- voegdheden. De Grieken hadden weliswaar de notie van regelmaat, zoals trouwens zove el volkeren, maar is een door goden bevolkte wereld er eentje waarin het begrip waarschijnlijkheid kan florer en? The answer, my friend, is blowing in the wind. fig. 4een verzameling astralagi met een paar vroege dobbel- stenen NK: De eerste waarschijnlijkheidsproblemen hadden be- trekking op regelmatige dobbelstenen. De aanname dat alle zijden dezelfde mogelijkheid hebben was voor de wis- kundige behandeling van belang. In de oude wereld kende men onze dobbelsteen niet. Men dobbelde met een astra- lagus, dat is een klein bot uit de hiel van een schaap of een hert. Het heeft vier enigszin s rechte vlakken waarop het kan rusten en twee ronde vlakken. Het is duidelijk dat de empirische waarschijnlijkheid varieerde van astralagus tot astralagus. De onzuivere astralagi lenen zich niet voor een CnkpkqnkŒCnk
PAGE – 4 ============
42Waarschijnlijkheid, een wiskundig buitenbeentje? waarschijnlijkheidstheorie. Ec hter, de Grieken beschikten wel over zuivere munten. Die hadden toch ook aanleiding kunnen zijn voor een waarschijnlijkheidstheorie? MN: Zoals ik daarnet al zei, de wiskunde zou een pro- bleem zijn geweest en misschien is een wereldbeeld dat nogal verwarrend is en bezaaid met ‚acteurs™, niet de meest gelukkige achtergrond voor een ontwikkeling van de kansrekening. Het is speculatie, ik weet het. Je had het over ‚empirisch e waarschijnlijkheid™. Daar zouden we een fikse boom over kunnen opzetten. Laat ik je zeggen dat het bepalen van kansen aan de hand van ex- perimenten pas vrij laat in de geschiedenis aan de orde komt. Het is bepaald niet voor niets dat een artikel uit 1763, op naam van de Engelse plattelandsdominee Tho- mas Bayes Œ maar belangrijk geredigeerd en aangevuld door zijn vriend Richard Pri ce Œ de aandacht trekt van een wiskundige kanjer als Laplace. In dat artikel wordt name- lijk het probleem aangesneden hoe je uit opgedane erva- ring in experimenten iets over een kans op herhaling kunt afleiden. Maar dat is dus iets uit een andere tijd. Trouwens, het is op zich pikant dat een discipline die zich met onzekerheid in optima forma bezighoudt, nu juist tot de wiskunde behoort, een vakgebied dat traditioneel niet direct met onzekerheid gea ssocieerd wordt. Iets anders nu. Filosofen hebben zich niet uitsluitend hartstochtelijk gestort op paradoxen, maar ook op de interpretatie van het begrip kans. Ik ben van de klassieke lijn van Laplace. NK: Er zijn twee soorten inte rpretaties van de kansreke- ning. In de epistemologische interpretatie wordt waar- schijnlijkheid beschouwd als een graad van kennis die wij mensen hebben, de klassiek e interpretatie van Laplace behoort tot deze categorie. Volgens de objectieve inter- pretatie is waarschijnlijkheid een objectieve eigenschap van de wereld; deze waarsc hijnlijkheid is onafhankelijk van het menselijk kennen. Helaas worden verschillende namen voor de twee stromingen gebruikt. De epistemi- sche interpretatie wordt ook we l de subjectieve interpre- tatie genoemd, en de objec tieve interpretatie noemen sommigen de wetenschappelijke interpretatie. Het lijkt of de waarschijnlijkheidstheorie een januskop heeft. Aan de ene kant heef t het als statistiek betrekking op de wereld, aan de andere kant is het epistemisch, ont- daan van de statische achtergrond. fig. 5Janus, de Romeinse god van de overdekte doorgang en ingang. Als god van de poort ziet Janus voor- en achterwaarts, en heeft daarom op Romeinse munten een dubbel gelaat. Het verschil tussen de twee interpretaties wordt fraai geïl- lustreerd door een voorbeel d van Laplace. Stel, je hebt een niet-zuivere munt en je w eet niet in welke richting hij onzuiver is. Wat is de kans op munt bij een worp met deze munt P(munt ) = p, waarbij ? Als je aanhanger bent van de epistemische inte rpretatie, zoals Laplace, dan luidt het antwoord: . Als je de objectieve traditie volgt dan is het antwoord: alles wat we weten van de waarde p is dat . MN: Ik ben een aanhanger van de zogenaamde subjectie- ve school, al vind ik de naam ‚subjectief™ niet echt pas- send en de naam ‚objectief™ al helemaal niet. Stel dat we een dobbelsteen hebben die qua bouw volkomen symme- trisch is. Jouw ‚objectieven™ zullen dan zeggen dat de kansen over de zes mogelijkheden identiek zijn en be- schouwen dit als een eigenschap van de dobbelsteen. Maar dat is helemaal niet zo! De uitkomst van een worp is niet alleen afhankelijk van de eigenschappen van de dobbelsteen, maar ook van de manier van werpen. Ieder- een kan ook zo™n eerlijke dobbelsteen volkomen ‚oneer- lijke™ uitkomsten laten geven, door de beginvoorwaarden bij de worp te manipuleren. (Jaynes gaat daar in zijn boek redelijk diep op in. De fysicus Jaynes zou een uitmuntend goochelaar zijn geweest.) 0p1p12—=p12—
PAGE – 5 ============
Nieuwe Wiskrant 26-2/december 2006 43fig. 6Ed T. Jaynes in zijn fysisch laboratorium (1967) Dat betekent dat je niet alleen naar de steen moet kijken, maar dat je ook de ruimte van de beginvoorwaarden van de worp in je beschouwing moet betrekken. En dan is het ge- beurd met de ‚objectieve™ interpretatie. Het is dan ook na- tuurlijker om te zeggen dat je kennispositie is dat je aan alle uitkomsten dezelfde kans toekent. Dan gebruik je het prin- cipe van indifferentie (of een moderne generalisatie daar- van, Maximum Entropie) om dat laatste te rechtvaardigen. NK: De term ‚subjectief™ heeft in het dagelijks taalgebruik vaak een negatieve betekenis. In de filosofie betekent een subjectieve interpretatie dat he t ijkpunt, de referentie, in de mens ligt, in het subject. Daar entegen ligt bij de objectieve interpretatie het ijkpunt in de wereld buiten de mens. La- place ging uit van een universum dat volledig determinis- tisch is. Hij stelde zich een ‚Intelligentie™ voor die de vol- ledige toestand van het universum op een bepaald moment kent en op basis daarvan in staat zou zijn het hele verleden en de hele toekomst van het universum uit te rekenen. Zo een wezen heeft geen kansrekening nodig, daar hebben al- leen mensen met hun beperkte kennis behoefte aan. MN: Hij schrijft dat in ongelofel ijk mooi Frans. Elke keer als ik het lees, krijg ik weer kippenvel. Hoofdstuk één in zijn Essai philosophique sur les probabilités . Lezen dat hoofdstuk! NK: In de fysica is waarschijnlijkheid gerelateerd aan tijd Œ als de tijd waarop een gebe urtenis die is voorspeld plaats vindt of niet. Op macroniveau met ‚normale™ oorzaak-ge- volgrelaties zal de kans van bi jna alle gebeurtenissen dicht bij 1 of 0 liggen, maar door het indeterminisme van de kwantummechanica op microniveau zullen microscopi- sche gebeurtenissen waarden hebben tussen 0 en 1. Het de- terministisch universum van Laplace werkt niet op micro- niveau volgens de standaardopvattingen in de fysica. MN: Ho, ho. Als ik een dobb elsteen in een kogelbaan weggooi, zal ik aan ieder van de zes uitkomsten kans toekennen. Mijn kennispositie immers is dat ik met geen mogelijkheid iets definitievers zeggen kan. fig. 7Pierre-Simon Laplace (1749 Œ 1827) ‚Ik ga hier zonder mathematische analyse de princi pes en algemene resultaten weergeven van de kans rekening [] door ze toe te passen op de belangrijkste vragen van het leven, die inderdaad, voor het grootste deel, slechts problemen van waarschijnlijkheid zijn.™ NK: Degene die met de dobbelsteen werpt, is ook onder- deel van het deterministische systeem. Manipulaties wor- den dus ook in de berekening van Laplace verwerkt, als dat tenminste lukken wil, waardoor de combinatie van ‚eigenschappen dobbelsteen™ plus ‚manipulatie™ niet meer per se zes identieke mogelijkheden oplevert. MN: Nog even over het onderscheid ‚subjectief/objec- tief™. De aanhangers van de ‚objectieve™ school worden meestal ‚frequentisten™ genoemd. Een kans is voor hen onlosmakelijk verbonden aan wat experimenten op de lange duur doen. De Bayesianen Œ de ‚subjectieven™ Œ zijn hun tegenpolen. Voor hen is kans in principe aan kennis gelieerd. Dat hoeft overigens niet te betekenen dat de beide stromingen bij hetzelfde probleempje andere antwoorden krijgen. Neen, het betekent vooral dat Baye- sianen toepassingen van de waarschijnlijkheidstheorie aanvaarden waar de frequentis t zich geen raad mee weet. Of beter nog, waarvan de frequentist zegt dat het niet zijn competentie is, maar die van de statistici. Want dat is nog een bijkomen d verschil: de frequentist ziet waarschijnlijkheidstheorie en statistiek als twee af- zonderlijke disciplines, de Bayesiaan daarentegen trekt de statistiek geheel binnen de waarschijnlijkheidstheorie. 16—
PAGE – 6 ============
44Waarschijnlijkheid, een wiskundig buitenbeentje? Immers, alles wat hij nodig heeft wordt hem methodisch binnen die theorie aangeleverd . In de adhoc-oplossingen van de klassieke statistiek heef t hij geen trek en hij heeft ze ook niet nodig. Dit was een hele mondvol. Laat ik daarom een, hopelijk aansprekend, ludiek voorbeeld geven. Je zit in de nacht- trein naar het zuiden en je valt in slaap. Midden in de nacht word je wakker. De trei n staat stil op een Duits sta- tion, maar je ziet geen n aamborden. Voor het station staan taxi™s. Vier om precies te zijn. Elke taxi heeft een ‚rugnummer™. De rugnummers kun je lezen: 12, 32, 33, 54. Vraag: hoeveel taxi™s zijn er in die stad? De frequentist verslijt je voor gek: Idioot die je bent! Slecht gedefinieerde vraag, g een antwoord! De Bayesi- aan is het daar zeer beslist niet mee eens. Hij zal een aan- name maken over de a priori kans op het bestaan van Ntaxi™s, op basis van wat hij weet, zijn kennistoestand. Hij zal in het onderhavige geval bijvoorbeeld stellen dat voor N een uniforme a priori kans verdeling op zijn plaats is, met N tussen 54 en een limietwaarde N*.De stelling van Bayes, een eenvoudig resultaat uit de waarschijnlijkheidstheorie, maakt het hem nu mogelijk om de waarschijnlijkheid van zijn observatie (de vier rug- nummers), gegeven de a priori-kennis, om te zetten in een a posteriori-uitspraak over N.Waar de frequentist het zichzel f verbiedt om aan een ken- nistoestand een kansverdeling te verbinden, doet de Bayesiaan dat wel. De een kan dus een antwoord geven, dat uiteraard afhangt van de kennis waar hij van uitgaat, de ander kan slechts schaapachtig toekijken. NK: Op basis van de vier rugnummers en vooral door al- ledaagse kennis van de wereld kun je aannemen dat er in een stad geen 10.000 taxi™s rondrijden. Maar het is best mogelijk dat er 54 taxi™s zijn. Het probleem blijft dat er geen unieke methode is om a priori-kennis te bepalen. Elke waarde die je aan N* toekent, blijft arbitrair. MN: Het aardige is wel dat je in het onderhavige pro- bleem met de vier taxi™s de limiet kunt nemen voor N*naar oneindig, waardoor die door jou genoemde wille- keur verdwijnt. De beste schatting zou bij de genoemde a priori zijn, dat er 81 taxi™s in de stad rondrijden en je kunt aan dat getal nog een standaardafwijking hangen ook. Zie je slechts een enkele taxi, dan gaat dat niet. Je moet dan echt serieuze ‚domeinkennis™ toevoegen. Je weet bijvoor- beeld dat het een wat grotere st ad aan de Rijn moet zijn Œ de trein stopt tenslotte niet in een gat Œ en je weet mis- schien wat de opties zijn, omdat je op de hoogte bent van de geografie van Duitsland– NK: Even wat anders. Een zekere bisschop Joseph But- ler, een tijdgenoot van Bayes en eveneens theoloog, schreef al in 1736 ‚probability is the very guide of life™. En Laplace stelde dat ‚de w aarschijnlijkheidstheorie uit- eindelijk alleen tot calculu s gereduceerd gezond verstand is™. Je zou dus denken dat waarschijnlijkheidstheorie aan- sluit op onze menselijke intuïtie. Helaas blijkt dat in veel gevallen niet zo te zijn. Mensen vertrouwen op hun ge- voel bij het nemen van besluiten, maar ons gevoel heeft het, als het kansen betreft, vaak bij het verkeerde eind. De mens schijnt een zwakke intuïtie voor kansen te hebben, in het bijzonder als onafhankelijke en voorwaardelijke kansen in het geding zijn. Ik geef een paar sprekende voorbeelden. fig. 8Giuseppe Maria Cres pi (1665 Œ 1747), Bolognese school, ‚Drie maal een zes gooien™ Het toekennen van gelijke kansen aan alle mogelijke uit- komsten van het werpen met een dobbelsteen heeft twee aspecten. Ten eerste moet de dobbelsteen zuiver zijn, de kansen van elk vlak zijn gelijk aan . Ten tweede moeten alle opeenvolgende worpen onafhankelijk zijn. De kans dat je met drie worpen achte r elkaar een zes gooit met een dobbelsteen is . Maar als je al twee keer een zes gegooid hebt, is de kans dat je met de derde worp nog een zes gooit gelijk aan . Veel gokkers schatten die kans abusievelijk veel lager in. Tijdens een loopgravenoorlog kruipen soldaten instinc- tief in een granaatkrater, om dat ze ervan overtuigd zijn daar nooit een tweede granaat zal inslaan. Ze denken dat er een magische kracht is di e toevallige verbanden weet tegen te houden. MN: Nou, nou. Hun intuïtie deugt hier niet. Ze hebben al- leen maar een onzuiver beel d van ‚kans™. Iets preciezer, hun niet-gearticuleerde begrip van ‚voorwaardelijke kans™ rammelt. 16—16—31216——– -=16—
PAGE – 8 ============
46Waarschijnlijkheid, een wiskundig buitenbeentje? ten is? En hoe bepaal je de a priori-waarschijnlijkheid? Dat was bij het taxivoorbeeld al lastig! Swinburne preten- deert dat we uitsluitend het criterium van eenvoud moe- ten hanteren, waardoor het monotheïsme het wint van ri- valen zoals het polytheïsme. Volgens Philipse leidt dit tot onaanvaardbare consequenties, want volgens Swinburne is, ongeacht het empirisch bewijsmateriaal, de a priori- waarschijnlijkheid dat het monotheïsme waar is reeds groter dan een half. Geen we tenschapper zal het criterium van eenvoud zwaarder laten wegen dan het empirisch be- wijsmateriaal. Swinburnes rationele theorie is niet ge- loofwaardig omdat hij criteria voor theoriekeuze op een absurde manier toepast. fig. 9Herman Philipse behandelt Bayes tijdens de drukbe-zochte Studium Generale colleges MN: De bezwaren van Philipse zijn binnen de waar- schijnlijkheidstheorie pregnanter te formuleren. Stel, we hebben waarnemingen of beweringen genaamd ‚ Data ™ enverschillende hypotheses Hk waartussen gekozen kan worden. De hypothese Hk staat dan bijvoorbeeld voor: er zijn k goden, k = 0,1,2,3.. De stelling van Bayes impli- ceert dat de a posteriori-kans, de likelihood en de a priori- kans gelieerd zijn volgens We willen de a posteriori P(Hk | Data) bepalen. Er moet natuurlijk een algemeen aanv aarde wijze zijn waarop die likelihood te bepalen of te schatten is. Dat komt overeen met het probleem dat Philipse signaleert over het bepalen van de te verwachten schepping als er een monotheïsti- sche god is. Hiervoor geldt k = 1. Niet alleen de bepaling van de a priori-kans is in het genoemde probleem een la- chertje, zonder serieuze leidraad, de vaststelling van een likelihood is dat nog veel m eer. Swinburne kwalificeert zich als een pseudowetensc happer, een rommelaartje. Het is dit soort bezopen toepassingen Œ het bestaan van Atlantis aantonen middels de stelling van Bayes is er ook zo een Œ die het ‚Bayesianisme™ ooit in een kwade reuk hebben gebracht. Bij Feller is er bijtend commentaar te vinden op dergelijke toepassingen. Helaas wordt door hem niet alleen het badwater weggespoeld, maar ook het lieve kind. A propos, in 1710 p ubliceerde de Schotse arts John Ar- buthnot een ‚statistisch™ godsbewijs met als feitenmate- riaal dat er in Londen in 82 opvolgende jaren meer jon- gens dan meisjes geboren waren. Hij kreeg zijn essay ge- publiceerd in de Philosophical Transactions of the Royal Society . Het geldt als de eerste moedige poging om een hypothese op grond van gegevens te verwerpen (namelijk de hypothese dat het numeriek overwicht van de jonge- tjes een kansspelletje was à la kruis en munt). Er ging in de redeneerketen nogal wat mis. Ook hier was de ‚godde- lijke™ likelihood een probleem, maar Arbuthnot leefde in een tijd dat de kansrekening in de kinderschoenen stond. fig. 10 William Feller (1906 Œ 197 0) ‚All possible definitions of probability fall short of the actual practice.™NK: Zo, dat was dan het hoofdstuk wetenschappelijke in- competentie. Heb jij nog wat over de toepassing van de kansrekening te zeggen? MN: Ja, ik wil nog wel iets benadrukken. De menselijke intuïtie mag niet al te geweldig zijn, je kunt ongelukken voorkomen door je strikt aan de regels van de waarschijn- lijkheidstheorie te houden. Di e regels zijn gecodeerd in het axiomasysteem van Kolmogorov. Als je het erover eens bent dat die axioma™s omschrijven wat jij ziet als ei- genschappen van het begrip ‚kans™, dan ben je gevrij- waard tegen ellende. Je bent op zijn minst ook gewapend om zogenaamde paradoxen te lijf te gaan. Je moet je ook zeer strikt houden aan allerhande mathematische gedrags- regels. In een eerder gesprek hadden we het over de on- eindigheid in de wiskunde. Toen heb ik gezegd dat een en PHkData PDataH kPHkPData ———————————————- -=
PAGE – 9 ============
Nieuwe Wiskrant 26-2/december 2006 47ander in operationele zin zo we rkt dat je een systeem eerst in een eindige parameter beschr ijft en pas daarna de limiet van die parameter naar oneindi g neemt. Doe je het anders, dan bestaat het risico op fa liekant verkeerde resultaten. Ook daarvan zijn voorbeelden in de kansrekening. Ik ver- wijs je weer opnieuw naar het boek van Jaynes. fig. 11Andrey N. Kolmogorov (1903 Œ 1987) Enfin, door de axioma™s van Kolmogorov ben je in staat om met het hele uitgekookte apparaat van de wiskunde tot resultaten te komen die onbetwijfelbaar zijn, ook al kunnen ze wel eens tegen onze intuïtie in gaan. Het blijkt dan bijvoorbeeld nodig om resultaten uit de maattheorie te gebruiken om stellingen te krijgen waar geen speld tus- sen te krijgen is. In de eenvoudige leerboekjes van het genre ‚kansrekening voor de praktische geoloog™ wordt dat alles niet behandeld, maar in de strikt wiskundige li- teratuur komen de subtiliteiten aan de oppervlakte die no- dig zijn om tot werkelijk stevige resultaten te komen. De wiskunde is een machtig wapen, Nico, een machtig wa- pen! Tot slot nog even aandacht voor heuse literatuur. Laplace schreef een overtuigend en prachtig verhaal met zijn Es-sai philosophique sur les probabilités , een didactisch meesterwerkje. Buitengewoon goed te volgen, ook na tweehonderd jaar. In de alle rlaatste paragraaf begint hij met de beroemde zin ‚Men ziet, [] dat de waarschijn- lijkheidstheorie in feite niets anders is dan gezond ver- stand herleid tot berekening™. Tenslotte eindigt hij met ‚[] zal men inzien dat er geen wetenschap is waardiger om over na te denken, en nuttiger om er iedereen kennis van te laten nemen™. We kunnen ons slechts volmondig aansluiten bij deze woorden va n de Franse grandmaître– Manuel Nepveu, Nico Krijn, TNO , UtrechtNoot[1]Volgens het principe van indifferentie (principle of indifference) hebben twee uitkomsten dezelfde moge- lijkheid Œ dezelfde kans Œ als we geen reden hebben de een te prefereren boven de ander. Als we bijvoor- beeld constateren dat een munt volmaakt symme- trisch is, dan zeggen we dat de kans op kruis gelijk is aan de kans op munt. LiteratuurLaplace, P-S. (1812). Théorie analytique des probabili- tés. Paris.Feller, W. (1967). An introduction to probability theory and its applications, volume I . New York: John Wiley & Sons. Stam, A.J. (1964). Inleiding tot de waarschijnlijkheidsre- kening. Haarlem: Technische uitgeverij H. Stam. Grimmett, G.R. & D.R. Stirzaker (1982). Probability and Random Processes . Oxford: Oxford University Press. Salmon, M.H. (et al.) (1999). Introduction to the philo- sophy of science . Cambridge: Hackett Publishing Company.Jaynes, E.T. (2003). Probability Theory, the logic of science. Cambridge: Cambridge University Press. Kac, M. (1974). Enigmas of chance, an autobiography .London: University of California Press, London. Philipse, H. (2005). ‚De wederopstanding van de ratione- le theologie, godsdienstwijsbegeerte volgens Richard Swinburne™. In: Academische boekengids , (novem- ber).
200 KB – 9 Pages