In der Schule engt eine Beschränkung auf Zirkel und Lineal den Horizont und somit das mathematische Denken der Lernenden und Lehrenden ein. Wir werden deshalb
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Didaktik der Geometrie Prof. M. Ludwig Kapitel 4 -1- Kapitel 4 Konstruieren 4.1. Einleitung 4.2. Theorie 4.3. Einteilung 4.3.1. Konstruieren als mathematische Tätigkeit 4.3.1.1 Überblick 4.3.1.2. Theorie ( —Was versteht man unter Konstrui eren?fi) 4.3.1.3. Exemplarische Konstruktionsaufgabe 4.3.1.3.1. Anfangs Œ und Zielkonfiguration 4.3.1.3.2. Lösungen einer Konstruktionsaufgabe 4.3.1.3.3. Konstruktionsbeschreibung 4.3.1.3.4. Durchführbarkeit einer Konstruktion 4.3.1.3.5. Richtigkeit einer Konstruktion 4.3.2. Konstruieren mit Zirkel und Lineal 4.3.2.1. Überblick 4.3.1.2. Theorie 4.3.2.2. Einteilung 4.3.2.2.1. Konstruktionen nur mit dem Lineal 4.3.2.2.2. Konstruktionen mit dem Lineal und einem fest gezeichneten Kreis 4.3.2.2.3. Konstruktionen nur mit Zirkel und Lineal 4.3.2.2.4. Konstruieren nur mit dem Zirkel 4.3.2.2.5. Konstruktionen mit dem Parallellineal 4.3.2.2.6. Konstruktionen mit anderen Werkzeugen 4.3.2.2.7. Zusammenfassung 4.3.3. Konstruieren mit dem Computer
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Didaktik der Geometrie Prof. M. Ludwig Kapitel 4 -2- 4. Konstruieren 4.1. Einleitung: Konstruieren Im Geometrieunterricht der Sekundarstufe ist das Ko nstruieren ebenso wie das Beweisen eine fundamentale mathematische Aktivität. Bei der Lösung einer Beweisaufgabe haben wir deutlich zwischen Beweisfin dung und der Beweisdarstellung unterschieden. Entsprechend unter scheiden wir bei der Lösung einer Konstruktionsaufgabe zwischen dem Finden der Konstruktion und der Darstellung der Konstruktion. Das Finden der zum Ziel führenden Konstruktion ist Œ ebenso wie das Finden eines Beweises Œ ein mehr oder weniger schwieriges Proble m. Die heuristischen Methoden, welche für den Problemlöseprozess beim Lö sen eines Konstruktionsproblems hilfreich sein können, werden daher im folgenden Kapitel behandelt. 4.2. Theorie: Didaktische Theorie des Konstruierens Die Theorie zum Kapitel Konstruieren teilt sich in drei Teile. Hier soll nur ein kurzer Einblick in theoretische Standpunkte des Konstruier ens gegeben werden. Diese Einblicke werden dann in die drei Teilaspekte verti eft. Mit der handwerklichen Tätigkeit des Konstruierens ist auch stets die Frage verbunden, wie man ein Konstruktionsziel erreicht. Konstruieren ist eine mathematische Tätigkeit . Konstruiert werden kann mit den unterschiedlichsten Werkzeugen ! Der Zweck entscheidet im täglichen Leben, welches Werkzeug ve rwendet wird. In der Schule engt eine Beschränkung auf Zirkel und Lineal den Ho rizont und somit das mathematische Denken der Lernenden und Lehrenden ei n. Wir werden deshalb auch mit anderen Werkzeugen konstruieren. Konstruieren ist eine Strategie ( Algorithmus ), eine Startkonfiguration (Punktmenge, Hilfsmittel) in eine Zielkonfiguration (Zielpunktemenge) überzuführen. Da Konstruieren einen algorithmischen Charakter hat , ist es einerseits möglich, eine exakte und nachvollziehbare Konstruktionsbeschreibu ng anzugeben und andererseits mit dynamischen Geometriesystemen Makros zu “programmieren”, die dann ein modulares Konstruieren ermöglichen.
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Didaktik der Geometrie Prof. M. Ludwig Kapitel 4 -3- 4.3. Einteilung: 1. Konstruieren als mathematische Tätigkeit 2. Konstruieren mit Zirkel und Lineal 3. Konstruieren mit dem Computer 4.3.1. Konstruieren als mathematische Tätigkeit Dieser Teilaspekt beschäftigt sich mit den Gründen und den Zielen des Konstruierens im Mathematikunterricht. 4.3.1.1. Überblick Während die anderen beiden Teilmodule praxisorienti ert sind, werden wir uns hier mit der mathematischen Komponente des Konstruierens unter theoretischen Gesichtspunkten näher beschäftigen. Folgende Fragen sollen dabei eine Hilfe sein: Was bedeutet eigentlich “Konstruieren”? Welche Bedeutung hatte das Konstruieren in der Anti ke? Was versteht man in der Schule unter “Konstruieren” ? 4.3.1.2. Theorie —Was versteht man unter Konstruieren?fi im Fremdwörterlexikon: In Langenscheidts Fremdwörterlexikon hat das Wort “Konstruieren” 5 Bedeutungen. Zunächst einmal bedeutet es im technis chen Bereich das Planen, Entwerfen, Berechnen und Bauen von Objekten und Mas chinen. Andererseits bedeutet es aber auch, sich etwas theoretisch zu üb erlegen bzw. auszudenken. Dies kommt der Vorstellung von Konstruieren in der Mathe matik schon näher. Konstruieren im mathematischen Sinne ist eine Tätig keit, die mit idealen Objekten “im Geiste” oder “im Kopf” durchgeführt wird. Jede Konstruktion in der Wirklichkeit ist nur eine Annäherung an diesen idealen Fall.
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Didaktik der Geometrie Prof. M. Ludwig Kapitel 4 -4- in der didaktischen Literatur: Nach Holland (1996) ist Konstruieren, ebenso wie das Beweisen, in der Sekundarstufe eine fundamentale Aktivität. Das Kons truieren sieht er unter dem Gesichtspunkt der Konstruktionsaufgabe, deren Lösun g sich in das Finden der Konstruktion und die Darstellung der Konstruktion a ufteilt. Das Finden einer Lösungskonstruktion ist die eigentliche mathematisc he – heuristische Tätigkeit. Das Ausführen und Darstellen der Lösung ist dann “nur” noch die Realisierung der mathematischen Idee. Weth (1992) beschreibt in seinem Aufsatz “Computerunterstütztes modulares Konstruieren” wie bei der Ausführung von Konstruktionen immer wieder auf die Grundkonstruktionen zurückgegriffen wird. Dies hat mitunter demotivierende Auswirkungen auf die Schüler, da die s bei umfangreichen Konstruktionen sehr zeitraubend und m ühsam ist, z.B. jedes Mal eine Parallele zu konstruieren. Er plädie rt, wie übrigens auch Vollrath (1990) und H. Schumann (1990) , für ein modulares Konstruieren, welches bedeutet, dass eine bereits durchgeführte Konstruktion (z.B. eine Parallelenkonstruktion) als Baustein (z.B. mit Hilfe des Geodreiecks) in einer anderen Konstruktion weiter verwendet werden kann. Selbst Euklid verwendete in seinen Elementen Module, indem er immer wieder auf bereits gelöste Konstrukt ionsaufgaben verwies. Heute besitzt man mit Hilfe von Dynamischen Geometrie Sys temen die technischen Möglichkeiten, Konstruktionen als sogenannte Makros abzuspeichern und als Module in anderen Konstruktionen zu verwenden. In der Schule: · Konstruieren in der Schule meint fast immer die Bearbeitung einer Konstruktionsaufgabe durch Anfertigung einer Zeichnung mit Zirkel und Lineal und den dazu gehörigen Konstruktionsplan bzw. die dazu gehörige Konstruktionsbeschreibung. Konstruieren in der Schule hat nichts mit dem Erste llen eines Bauplanes zu tun, wie es in Ingenieurbüros mi t CAD geschieht. Auch finden Konstruktionen fast imme r nur in der Planimetrie statt. Die Darstellende Geom etrie (konstruktive Raumgeometrie), bei der Konstruktione n einen handwerklichen bzw. ästhetischen Zweck erfüllen wür den, ist aus der Schulmathematik fast verschwunden. · Beim Konstruieren in der Schule dürfen in der Regel nur Zirkel und Lineal (mit Maßeinteilung) verwendet werden. Nachdem Grundkonst ruktionen wie Lotfällen, Parallelen ziehen, Mittelpunkte markieren eingeübt sind, kann man diese Konstruktionen auch als Makro mithilfe eines Geodre iecks durchführen. Dies wird allerdings nicht von allen Lehrern so gestattet. Ei ne Begründung für das Verbot von Makrokonstruktionen ist u.a. die Behauptung, da ss Konstruieren genauer wäre. Das Gegenteil der Fall. Ein Lot ist z.B. mit dem Geodreieck schneller und genauer errichtet. Bei Verwendung dieses Makros hat der Schüler u.a. auch mehr Zeit und Konzentration für die eigentliche Aufgabe.
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Didaktik der Geometrie Prof. M. Ludwig Kapitel 4 -5- · Die Schüler legen bei Konstruktionsaufgaben zu viel Wert auf die fertige Zeichnung. Dabei ist die Konstruktion ein Prozess u nd die Konstruktionsbeschreibung bzw. der Konstruktionspla n die Erklärung, die Verbalisierung des Prozesses. Die Schritte dieses K onstruktionsprozesses sind mit den einzelnen Schritten beim Auflösen einer Gle ichung vergleichbar. Ebenso wie in der Geometrie bei der Konstruktion jeder Sch ritt kommentiert wird, passiert dies auch in der Algebra bei Gleichungen indem am R and notiert wird, was gerade umgeformt bzw. durch welche Variable z.B. di vidiert wird. Allerdings wird die Lösung einer Gleichung sequenti ell aufgeschrieben, so dass sie auch ohne die Randbemerkung nachvollziehbar ist ; im Gegensatz zu einer fertigen Konstruktion. Einer fertigen Konstruktion sieht man ihren Ablauf nicht mehr an. Deswegen ist eine Konstruktionsbeschreibun g insbesondere auch hilfreich für den Lehrer beim nachvollziehen von Sc hülerlösungen. Didaktische Bedeutung des Konstruierens Die Bedeutung des Konstruierens als mathematische T ätigkeit erschließt sich aus didaktischer Sicht anhand von Konstruktionsaufgaben . Diese unterteilen sich in mehrere Schritte. Die Aufgabe besteht darin, von einer vorgegebenen A usgangskonfiguration zu einer Zielkonfiguration zu kommen. Sowohl Ausgangs- als a uch Zielkonfiguration bestehen aus einer Menge geometrischer Objekte (z.B. Punkte, Kreise, Geraden) und einem System von Bedingungen (z.B. Punkt liegt auf Gerade ). Das Ziel der Konstruktionsaufgabe ist es, mit einzelnen Konstruk tionsschritten von einer Anfangskonfiguration die gesuchte Zielkonfiguration zu erstellen. Dabei muss beachtet werden, ob es zur gegebenen Anfangskonfigu ration keine, genau eine (eindeutig lösbar) oder mehrere Zielkonfigurationen gibt. Neben dem Finden der Lösung kommt es auch auf deren Darstellung an: die Konstruktionsbeschreibung. Es ist gerade bei geomet rischen Konstruktionen wichtig, jeden einzelnen Konstruktionsschritt schriftlich fe stzuhalten, da man einer fertigen Konstruktion nicht mehr ansieht, wie sie zustande g ekommen ist. Weiterhin muss auch die Richtigkeit einer Konstruktion gewährleistet sein, d.h. man muss beweisen, dass jeder der Konstruktionsschritte auf der Basis der entwickelten Konstellation durchführbar ist. Konstruktionsaufgaben können im Unterricht verschie dene Funktionen übernehmen. Beginnend mit der Einführung neuer Begriffe (man gi bt den Schülern den Auftrag, ein neues geometrisches Objekt einfach zu zeichnen), üb er die Entdeckung neuer Sätze und ihrer Beweise, sowie das Beweisen von Existenza ussagen bis hin zur “Thematisierung anschaulich evidenter Sätze” (dies ist jedoch schon recht anspruchsvoll!).
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Didaktik der Geometrie Prof. M. Ludwig Kapitel 4 -6- 4.1.3. Exemplarische Konstruktionsaufgabe Als Beispiel dient dazu die Aufgabe, einen Kreis du rch drei gegebene Punkte zu konstruieren. 1. Anfangs Œ und Zielkonfiguration 2. Lösungen einer Konstruktionsaufgabe 3. Konstruktionsbeschreibung 4. Durchführbarkeit einer Konstruktion 5. Richtigkeit einer Konstruktion 1. Anfangs- und Zielkonfiguration einer Konstruktio nsaufgabe Aufgabe: Gegeben seien die Punkte A, B, C. Konstruiere einen Kreis durch diese drei Punkte. Anfangskonfiguration Zielkonfiguration geometrische Objekte: Punkte A, B, C Bedingungen: A, B, C liegen nicht auf einer Geraden geometrische Objekte: Punkte A, B, C und Kreis K Bedingungen: A, B und C liegen nicht auf einer Geraden A, B und C liegen auf dem Kreis K 2. Lösungen einer Konstruktionsaufgabe Die Lösung bzw. die gesuchte Konstruktion sieht so aus: Natürlich gehört zur Lösung auch die Konstruktionsb eschreibung bzw. das Verfahren, welches die Lösung liefert.
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Didaktik der Geometrie Prof. M. Ludwig Kapitel 4 -8- 4. Durchführbarkeit einer Konstruktion: Die gesuchte Konstruktion ist dann durchführbar, we nn jeder einzelne Konstruktionsschritt durchführbar ist. Da die drei Punkte nicht identisch sind, können jeweils die Verbindungsstrecke, der Mittelpunkt und die Orthogonale, also die Mittelsenkrechte konstruiert werden. Da die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen, existiert offensichtlich auch der Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten. 5. Richtigkeit der Konstruktion: Die Richtigkeit der Konstruktion ergibt sich aus de r Tatsache, dass durch drei nicht identische Punkte ein (zumindest entarteter) Kreis bestimmt wird, und der zusätzlichen Bedingung ” A, B, C liegen nicht auf einer Geraden” in der Anfangskonfiguration. Daher schneiden sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt. Würde diese Bedingung fehlen, so müsste man zusätzlich noch eine Fallunterscheidung treffen. Falls die drei Punkte auf einer Geraden liegen, so kann die gesuchte Zielkonfiguration nicht konstruiert werden: es existiert keine Lösung. Da z.B. die Dreiecke AFE und EFC kongruent sind ( SWS-Satz ), ist der Abstand |AF| gleich dem Abstand |FC|. Analog sieht man |FC|=|FB| . Damit haben die drei Punkte A, B, C alle den gleichen Abstand von F und liegen auf dem Kreis K um F mit Radius |AF|.
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Didaktik der Geometrie Prof. M. Ludwig Kapitel 4 -9- Beispielaufgabe ( Geometrie in der Sekundarstufe; Holland) : Gegeben sind ein Kreis k(M,r) und ein Punkt P außer halb des Kreises. Konstruiere eine Tangente an den Kreis durch den Pu nkt P. Lösung: Durchführbarkeit der Konstruktion: Wegen der Voraussetzung: P liegt außerhalb von k(M, r) ist der Konstruktionsschritt (4) stets durchführbar. Da es für die Wahl des Berü hrpunktes zwei Möglichkeiten gibt, hat die Aufgabe zwei Lösungen (es gibt zwei T angenten von P an den Kreis). Richtigkeit der Konstruktion: 1. Wegen (5) gilt .aPÎ 2. Wegen (2) Œ (5) folgt aus dem Thalessatz ). ,(AMga^ 3. Wegen 1. und 2. ist a Tangente an den Kreis k(M, r).
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Didaktik der Geometrie Prof. M. Ludwig Kapitel 4 -10- Anfangs Œ und Zielkonfiguration einer Konstruktions aufgabe Anknüpfend an das vorhergegangene Beispiel wollen w ir nun einige wesentliche Merkmale geometrischer Konstruktionen herstellen. J ede geometrische Konfiguration, die aus einem Kreis und einem Punkt P besteht, welche außerhalb des Kreises liegt, nennen wir eine Anfangskonfigura tion der Konstruktionsaufgabe. Entsprechend nennen wir jede geometrische Konfigur ation, welche zusätzlich eine Tangente durch P an den Kreis enthält, eine Zielkon figuration der Konstruktionsaufgabe. Anfangs- und Zielkonfiguratio n der Aufgabe sind gegeben durch eine Menge geometrischer Objekte und ein Syst em von Bedingungen. Anfangskonfiguration geometrische Objekte : Kreis k(M,r) , Punkt P Bedingungen: P liegt außerhalb von k Zielkonfiguration geometrische Objekte: k(M,r), Punkt P, Gerade a Bedingungen: P liegt außerhalb von k, .aPÎ, a ist Tangente an k. a
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Didaktik der Geometrie Prof. M. Ludwig Kapitel 4 -11- 4.3.2. Konstruieren mit Zirkel und Lineal 4.3.2.1. Überblick In diesem Teilmodul werden wir uns mit dem Erstelle n von Konstruktionen mit unterschiedlichen Werkzeugen beschäftigen. Neben den klassischen griechischen Werkzeugen Zirkel und Lineal , behandeln wir noch das Parallellineal , das Rolllineal , den “eingerosteten” Zirkel , und das Geodreieck , sowie Konstruktionen mit Schnüren und Saugnäpfen . Es wird empfohlen Zirkel, ein handelsübliches Linea l (zwei parallele Kanten) und einen Bleistift bereitzulegen. Folgende theoretischen Fragen bilden das Grundgerüs t dieses eher praktischen Moduls: · Wie sinnvoll oder notwendig ist die Beschränkung de r Konstruktionswerkzeuge in der Schulgeometrie auf Zirkel und Lineal? · Was sind Grundkonstruktionen? · Wozu dienen Konstruktionen in der Schule? 4.3.2.2. Theorie Eine kleine Konstruktionstheorie Jede Konstruktion beginnt mit einer Ausgangskonstel lation, die die gegebenen mathematischen Objekte (Punkte, Geraden usw.) angib t. Ferner müssen auch die Werkzeuge bekannt sein, die bei der Konstruktion ve rwendet werden dürfen. Wir wollen zunächst die Konstruktionen nach den uns zur Verfügung stehenden Werkzeugen kategorisieren. Es ist nämlich mathemati sch und methodisch äußerst reizvoll, eben nicht nur auf den von der traditione llen Schulgeometrie manifestierten Werkzeugen Zirkel und Lineal zu bestehen, sondern a uch andere Werkzeuge zuzulassen.
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